- LG a
- LG b
Giải và biện luận các hệ phương trình
LG a
\[\left\{ \matrix{
x + y = 4 \hfill \cr
xy = m \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụngđịnh lý Vi-ét đảo:
Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}
x + y = S\\
xy = P
\end{array} \right.\] thì x, y là nghiệm của phương trình \[{X^2} - SX + P = 0\]
Lời giải chi tiết:
Theo định lý Vi-ét đảo, x và y là nghiệm của phương trình:
z2 4z + m = 0 [1]
Ta có: Δ = 4 m
Do đó:
+ Nếu m > 4 thì Δ < 0 thì phương trình [1] vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm
+ Nếu m = 4 thì Δ = 0 thì phương trình [1] có một nghiệm kép z = 2 nên hệ đã cho có một nghiệm duy nhất \[[x, y] = [2, 2]\]
+ Nếu m < 4 thì Δ > 0 thì phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt \[z = 2 \pm \sqrt {4 - m} \]nên hệ đã cho có hai nghiệm:
\[\left\{ \matrix{
x = 2 - \sqrt {4 - m} \hfill \cr
y = 2 + \sqrt {4 - m} \hfill \cr} \right. \] và \[ \left\{ \matrix{
x = 2 + \sqrt {4 - m} \hfill \cr
y = 2 - \sqrt {4 - m} \hfill \cr} \right.\]
LG b
\[\left\{ \matrix{
3x - 2y = 1 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = m \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\left\{ \matrix{
3x - 2y = 1 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = m \hfill \cr} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2y = 3x - 1 \hfill \cr
4{x^2} + 4{y^2} = 4m \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2y = 3x - 1 \hfill \cr
4{x^2} + {[3x - 1]^2} = 4m \,\,\,[1]\hfill \cr} \right.\]
Xét phương trình [1] ta có:
4x2+ [3x 1]2= 4m
\[ \Leftrightarrow 4{x^2} + 9{x^2} - 6x + 1 - 4m = 0\]
13x2 6x 4m + 1= 0 [2]
Phương trình [2] có \[\Delta ' = {\left[ { - 3} \right]^2} - 13\left[ { - 4m + 1} \right] \]\[= 52m - 4\]
Do đó:
+ Nếu \[\Delta ' < 0 \Leftrightarrow 52m - 4 < 0 \]\[\Leftrightarrow m < \frac{1}{{13}}\]phương trình [2] vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.
+ Nếu \[\Delta ' = 0 \Leftrightarrow 52m - 4 = 0 \] \[\Leftrightarrow m = {1 \over {13}}\]
\[\Rightarrow \] phương trình [2] có một nghiệm \[x = {3 \over {13}}\]nên hệ có nghiệm là \[\left[ {\frac{3}{{13}}; - \frac{2}{{13}}} \right]\]
+ Nếu \[m > {1 \over {13}}\]thì phương trình [2] có hai nghiệm: \[{x_{1,2}} = {{3 \pm 2\sqrt {13m - 1} } \over {13}}\] , nên hệ có hai nghiệm như sau:
\[\eqalign{
& [{x_1},{y_1}] = [{{3 - 2\sqrt {13m - 1} } \over {13}};\,{{ - 2 - 3\sqrt {13m - 1} } \over {13}}] \cr
& [{x_2},{y_2}]\, = \,[{{3 + 2\sqrt {13m - 1} } \over {13}};\,{{ - 2 + 3\sqrt {13m - 1} } \over {13}}] \cr} \]