Đề bài
Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB,BC,CA là
\[\eqalign{
& AB:2x - 3y - 1 = 0; \cr
& BC:x + 3y + 7 = 0; \cr
& CA:5x - 2y + 1 = 0. \cr} \]
Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.
Lời giải chi tiết
Hai đường thẳng AB,BC cắt nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình sau:
\[\left\{ \matrix{
2x - 3y - 1 = 0 \hfill \cr
x + 3y + 7 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = - {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[B\left[ { - 2; - {5 \over 3}} \right]\]
Đường thẳng CA có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow n [5; - 2]\]nên có véc tơ chỉ phương là \[\overrightarrow u [2;5]\]
Đường cao kẻ từ đỉnh B vuông góc với CA nên nhận \[\overrightarrow u [2;5]\] làm véc tơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua \[B\left[ { - 2; - {5 \over 3}} \right]\]và có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow u [2;5]\]là:
\[2.[x + 2] + 5.\left[ {y + {5 \over 3}} \right] = 0 \]\[\Leftrightarrow 2x + 5y + {{37} \over 3} = 0\]
Cách khác: