Đề bài
Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là [4, -1]. Biết phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x - 3y = 0 và 2x + 5y +6 = 0. Tìm tọa độ ba đỉnh còn lại của hình bình hành đó.
Lời giải chi tiết
Giả sử hình bình hành ABCD có:
\[A\left[ {4; - 1} \right]\]và \[BC:x - 3y = 0;\,\,CD:2x + 5y + 6 = 0\] [do A không nằm trên hai đường thẳng này].
Vì C là giao của BC và CD nên tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ sau:
\[\left\{ \matrix{
x - 3y = 0 \hfill \cr
2x + 5y = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - {{18} \over {11}} \hfill \cr
y = - {6 \over {11}} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[C\left[ { - {{18} \over {11}}; - {6 \over {11}}} \right].\]
+] Đường thẳng AD qua A và song song với BC nên nhận \[\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left[ {1; - 3} \right]\] làm VTPT.
AD có phương trình:
\[1.\left[ {x - 4} \right] - 3.\left[ {y + 1} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow x - 3y - 7 = 0.\]
D là giao điểm của AD và CD nên tọa độ của điểm D là nghiệm của hệ sau:
\[\left\{ \matrix{
x - 3y = 7 \hfill \cr
2x + 5y = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{17} \over {11}} \hfill \cr
y = - {{20} \over {11}} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[D\left[ {{{17} \over {11}}; - {{20} \over {11}}} \right].\]
+] Đường thẳng AB qua A và song song với CD nên nhận \[\overrightarrow {{n_{CD}}} = \left[ {2;5} \right]\] làm VTPT.
AB có phương trình là:
\[2.\left[ {x - 4} \right] + 5.\left[ {y + 1} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 2x + 5y - 3 = 0.\]
B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ của B là nghiệm của hệ sau:
\[\left\{ \matrix{
2x + 5y - 3 = 0 \hfill \cr
x - 3y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {9 \over {11}} \hfill \cr
y = {3 \over {11}} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[B\left[ {{9 \over {11}};{3 \over {11}}} \right].\]