Tìm GTLN GTNN của phương trình bậc 2

Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{m{x^2} + nx + p}}$ với $m{x^2} + nx + p > 0\forall x$.
Phương pháp: Gọi ${y_0}$ là một giá trị của biểu thức: Khi đó ${y_0} = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{m{x^2} + nx + p}} \Leftrightarrow \left( {{y_0}m - a} \right){x^2} + \left( {{y_0}n - b} \right)x + {y_0}p - c = 0$. (*) Ta xét 2 trường hợp: + Nếu ${y_0}m - a = 0 \Leftrightarrow {y_0} = \frac{a}{m}$ thay vào $\left( * \right)$ ta tìm được x suy ra ${y_0} = \frac{a}{m}$ là một giá trị của biểu thức. + Nếu ${y_0}m - a \ne 0 \Leftrightarrow {y_0} \ne \frac{a}{m}$ thì $(*)$ là phương trình bậc 2 ẩn x. Điều kiện để phương trình có nghiệm là: $\Delta \ge 0$. Từ đó ta suy ra điều kiện của ${y_0}$. Trên cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của biểu thức. + Ngoài ra trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta cần nắm kết quả sau: Ta có: $a.f\left( x \right) = {a^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right] = {a^2}{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{\Delta }{4}$. Từ đó suy ra Nếu $\Delta \le 0$ thì $a.f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow a,f\left( x \right)$ luôn cùng dấu. Một kết quả thường xuyên sử dụng trong giải toán là: “Nếu tam thức bậc 2 : $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ có $a > 0,\Delta \le 0 \Rightarrow f\left( x \right) \ge 0,\forall x$.”

Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:

Lời giải:

Ví dụ 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}xy + yz + zx = 8\\x + y + z = 5\end{array} \right.$.

Lời giải:

Ví dụ 3) Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của biểu thức: $P = 9xy + 10yz + 11zx$.

Ví dụ 4) Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: $a + ab + 2abc \le \frac{9}{2}$.

Suy ra $f\left( a \right) \ge 0$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = \frac{3}{2},b = 1,c = \frac{1}{2}$.