Tìm cấp số nhân u7 u1 728 u1 u3 u5 91
|
You're Reading a Free Preview Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5* 
XEM GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 11 - TẠI ĐÂY Lazi - Người trợ giúp bài tập về nhà 24/7 của bạn
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của một cấp số nhân u1-u3+u5=65 u1+u7=325 Các câu hỏi tương tự
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Chọn D. Ta có: u1-u3+u5=65u1+u7=325 u1(1-q2+q4)=65(1)u1(1+q6)=325(2) Chia từng vế của (1) cho (2) ta được phương trình: 1-q2+q41+q6=15 ⇔q6-5q4+5q2-4=0(*) Đặt t=q2,t≥0 Phương trình (*) trở thành: t3-5t2+5t-4=0 ⇔t-4(t2-t+1)=0 ⇔t=4t2-t+1=0(vn) Với t=4⇒q2=4⇔q=±2 Với q=±2 thay vào (2) ta được u1 = 5 Vậy u3=u1.q2=20 CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁNLớp 11 - Học kỳ II - Năm học 2018 - 2019Trường THPT Trần Văn Giàu (TPHCM)WiKi WayNgày 20 tháng 1 năm 2019CẤP SỐ NHÂNA. LÝ THUYẾT1. Định nghĩaCấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai trởđi, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.Nếu (un ) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồiun+1 = un .q, ∀n ∈ N∗ .2. Số hạng tổng quát của một CSN: un = u1 .q n−1 , ∀n ≥ 2.3. Tính chất các số hạng của CSN: u2k = uk−1 .uk+1 , ∀k ≥ 2.4. Tổng n số hạng đầu của một CSN:Sn = u1 + u2 + . . . + un . Khi đó: Sn =u1 (1 − q n ), q = 1.1−qB. BÀI TẬPBài 1. Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân saua)u4 + u2 = 60u5 + u3 = 180b)u7 − u1 = 728u1 + u3 + u5 = 91c)u7 + u1 = 1460u1 + u3 = 20d)u7 + u1 = 325u1 − u3 + u5 = 65Lời giải: Thay các uk bởi uk = u1 .q k−1 , ∀k ≥ 2 ta được hệ hai phương trình hai ẩnu1 , q. Giải hệ này ta tìm được u1 , q.1Giải đề cươnga)Toán 11 học kỳ 2u4 + u2 = 60u5 + u3 = 180Gọi công bội là q. Theo đề bài ta cóq 3 u1 + qu1 = 60⇔q 4 u1 + q 2 u1 = 180(q 2 + 1)qu1 = 60 (1)(q 2 + 1)q 2 u1 = 180 (2)Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta đượcq=3Thay q = 3 vào (1) ta được(32 + 1).3u1 = 60 ⇔ u1 = 2Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3.b)u7 − u1 = 728u1 + u3 + u5 = 91Gọi công bội là q. Theo đề bài ta cóq 6 u1 − u1 = 728⇔u1 + q 2 u1 + q 4 u1 = 91(q 6 − 1)u1 = 728 (1)(1 + q 2 + q 4 )u1 = 91 (2)Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế ta được(q 2 − 1)(q 4 + q 2 + 1)= 8 ⇔ q 2 − 1 = 8 ⇔ q = ±3241+q +qThay q = ±3 vào (1) ta được(36 − 1).u1 = 728 ⇔ u1 = 1Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = ±3.c)u7 + u1 = 1460u1 + u3 = 20Gọi công bội là q. Theo đề bài ta cóq 6 u1 + u1 = 1460⇔u1 + q 2 u1 = 20(q 6 + 1)u1 = 1460 (1)(1 + q 2 )u1 = 20 (2)Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế ta được(q 2 + 1)(q 4 − q 2 + 1)= 73 ⇔ q 4 − q 2 + 1 = 7321+q⇔ q 2 = 9 hay q 2 = −8 (loại) ⇔ q = ±3Thay q = ±3 vào (1) ta được(36 + 1).u1 = 1460 ⇔ u1 = 2Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = ±3.WiKi Way2Giải đề cươngd)Toán 11 học kỳ 2u7 + u1 = 325u1 − u3 + u5 = 65Tương tự câu b), ta được q = ±2, u1 = 5.Bài 2. Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân saua)u5 = 96u9 = 192b)u3 + u5 = 90u2 − u6 = 240c)u20 = 8u17u3 + u5 = 272d)6u2 + u5 = 13u3 + 2u4 = −1Lời giảia)u5 = 96u9 = 192Gọi công bội là q. Theo đề bài ta cóq 4 u1 = 96 (1)q 8 u1 = 192 (2)Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được√4q4 = 2 ⇔ q = ± 2√4Thay q = ± 2 vào (1) ta được2u1 = 96 ⇔ u1 = 48√4Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 48 và công bội q = ± 2.b)u3 + u5 = 90u2 − u6 = 240Gọi công bội là q. Theo đề bài ta cóq 2 u1 + q 4 u1 = 90 (1)⇔qu1 − q 5 u1 = 240 (2)(1 + q 2 )q 2 u1 = 90 (1)(1 − q 4 )qu1 = 240 (2)Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được(1 + q 2 )(1 − q 2 )81= ⇔ 3(1 − q 2 ) = 8q ⇔ 3q 2 + 8q − 3 = 0 ⇔ q = hay q = −32(1 + q )q33Thay q =1vào (1) ta được31+WiKi Way191. .u1 = 90 ⇔ u1 = 72993Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2Thay q = −3 vào (1) ta được(1 + 9) .9.u1 = 90 ⇔ u1 = 11Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 729 và công bội q = ; hoặc cấp số nhân có3số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = −3.c)u20 = 8u17u3 + u5 = 272Gọi công bội là q. Theo đề bài ta cóq 19 u1 − 8q 16 u1 = 0 (1)⇔q 2 u1 + q 4 u1 = 272 (2)(q 3 − 8)q 16 u1 = 0 (1)(1 + q 2 )q 2 u1 = 272 (2)Do q = 0, u1 = 0 nên(1) ⇔ q 3 − 8 = 0 ⇔ q = 2Thay q = 2 vào (2) ta được(1 + 22 ).22 .u1 = 272 ⇔ u1 =Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 =d)68568và công bội q = 2.56u2 + u5 = 13u3 + 2u4 = −1Gọi công bội là q. Theo đề bài ta có6qu1 + q 4 u1 = 1⇔3q 2 u1 + 2q 3 u1 = −1(6 + q 3 )qu1 = 1 (1)(3 + 2q)q 2 u1 = −1 (2)Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được(3 + 2q)q= −1 ⇔ 6 + q 3 = −2q 2 − 3q ⇔ q 3 + 2q 2 + 3q + 6 = 0 ⇔ q = −26 + q3Thay q = −2 vào (1) ta được(6 − 8).(−2).u1 = 1 ⇔ u1 =141và công bội q = −2.41Bài 3. Tìm 5 số lập thành một cấp số nhân. Biết công bội bằng số hạng đầu tiên và tổng 24số hạng đầu bằng 24.Lời giảiVậy cấp số nhân có số hạng đầuGọi 5 số cần tìm là u1 , u2 , . . . , u5 và công bội của cấp số nhân là q. Ta có11 q = 1 u1q = u1q = u14⇔⇔441 u1 + u2 = 24 u1 = 8 hay u1 = −12 u1 + u1 .u1 = 244WiKi Way4Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2⇔⇒q=2u1 = 8hayq = −3u1 = −12u1 = 8, u2 = 16, u3 = 32, u4 = 64, u5 = 128u1 = −12, u2 = 36, u3 = −108, u4 = 324, u5 = −972Bài 4. Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có công bội bằng 2. Tìm 4 gócấy.Lời giảiKhông mất tính tổng quát ta giả sử A = u1 , B = u2 , C = u3 , D = u4 , với (un ) là cấpsố nhân có công bội bằng 2. Khi đóB = u2 = 2u1 = 2A,C = u3 = 22 u1 = 4A,D = u4 = 23 u1 = 8A.Do ABCD là tứ giác nênA + B + C + D = 360 (độ) ⇔ A + 2A + 4A + 8A = 360 ⇔ 15A = 360 ⇔ A = 24 (độ)Suy ra B = 48o , C = 96o , D = 192o . Vậy 4 góc cần tìm lần lượt là 24o , 48o , 96o , 192o .Bài 5. Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9, số hạng cuối là 2187, công bội q = 3. Hỏi cấp sốnhân ấy có mấy số hạng?Lời giảiGiả sử cấp số nhân có n số hạng u1 , u2 , . . . , un . Theo giả thiết ta có u1 = 9, un = 2187.Hơn nữaun = q n−1 u1 ⇔ 2187 = 3n−1 .9 ⇔ 3n−1 = 243 = 35 ⇔ n − 1 = 5 ⇔ n = 6.Vậy cấp số nhân có 6 số hạng.Bài 6. Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là728.Lời giảiDo tổng các số hạng của cấp số nhân là 728 nên cấp số nhân có hữu hạn số hạng. Tagiả sử cấp số nhân có n số hạng là u1 , u2 , . . . , un . Ta có 3n−1 u1 = 486un = 4863n u1 = 486.3 = 1458n⇔⇔u (1 − 3 )Sn = 728u1 − 3n u1 = −1456 1= 7281−3⇔3n u1 = 1458⇔u1 − 1458 = −14563n .2 = 1458⇔u1 = 2n=6u1 = 2Vậy cấp số nhân cần tìm là u1 = 2, u2 = 6, u3 = 18, u4 = 54, u5 = 162, u6 = 486.WiKi Way5Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2Bài 7. Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của5 số hạng sau bằng 62.Lời giảiGiả sử cấp số nhân cần tìm gồm 6 số hạng u1 , u2 , . . . , u6 và có công bội là q. Theo giảthiết,u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31⇔u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 62u1 + qu1 + q 2 u1 + q 3 u1 + q 4 u1 = 31qu1 + q 2 u1 + q 3 u1 + q 4 u1 + q 5 u1 = 62(1 + q + q 2 + q 3 + q 4 )u1 = 31 (1)(1 + q + q 2 + q 3 + q 4 )qu1 = 62 (2)⇔Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được q = 2. Thay q = 2 vào (1) ta được(1 + 2 + 22 + 23 + 24 ).u1 = 31 ⇔ u1 = 1.Vậy cấp nhân cần tìm là u1 = 1, u2 = 2, u3 = 4, u4 = 8, u5 = 16, u6 = 32.Bài 8. Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72.Lời giảiGiả sử cấp số nhân cần tìm gồm 4 số hạng u1 , u2 , u3 , u4 và có công bội là q. Theo giảthiết,u1 + u4 = 27⇔u2 u3 = 72⇔q 3 u1 = 27 − u1⇔q 3 u21 = 72q 3 u1 = 27 − u1⇔(27 − u1 )u1 = 72q 3 u1 = 27 − u1u21 − 27u1 + 72 = 01q u1 = 27 − u1u1 = 24, q =⇔2u1 = 24 hay u1 = 3u1 = 3, q = 23⇔u1 + q 3 u1 = 27qu1 .q 2 u1 = 72Vậy cấp nhân cần tìm là 24, 12, 6, 3 hoặc 3, 6, 12, 24.Bài 9. Cho 3 số x, y, z theo thứ tự lập thành 1 cấp số nhân, đồng thời chúng là số hạng đầu,số hạng thứ 3 và thứ 9 của 1 cấp số cộng. Tìm 3 số đó, biết tổng của chúng bằng 13.Lời giảiGiả sử cấp số nhân x, y, z có công bội là q và cấp số cộng đã cho có công sai là d. Khiđóy = qx, z = q 2 x;y = x + (3 − 1)d = x + 2d, z = x + (9 − 1)d = x + 8d.Suy raqx = x + 2d⇔q 2 x = x + 8dWiKi Way(q − 1)x = 2d (1)(q 2 − 1)x = 8d (2)6Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta đượcq2 − 1= 4 ⇔ q + 1 = 4 ⇔ q = 3.q−1Lại cóx + y + z = 13 ⇔ x + qx + q 2 x = 13 ⇔ 13x = 13 ⇔ x = 1⇒ y = 3, z = 9Vậy 3 số cần tìm là 1, 3, 9.Bài 10. Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ 2 bằng3 và số hạng thứ 4 bằng 6. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó.Lời giảiGiả sử cấp số nhân có 5 số hạng là u1 , u2 , u3 , u4 , u5 và công bội q > 0. Ta cóu2 = 3⇔u4 = 6qu1 = 3 (1)q 3 u1 = 6 (2)√√Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được q 2 = 2, do đó q = 2 (vì q > 0). Với q = 2,√√3thay vào (1) ta suy ra u1 = √ . Khi đó u3 = qu2 = 3 2, u5 = qu4 = 6 2.2GIỚI HẠN DÃY SỐA. LÝ THUYẾT1. Các giới hạn đặc biệt11• lim = 0; lim k = 0(k ∈ N∗ )nn• lim nk = +∞, k ∈ N• lim q n = 0(|q| < 1), lim q n = +∞(q > 1)• Nếu un = c thì lim un = lim c = c.2. Tính chất• Nếu lim un = u; lim vn = v với u, v hữu hạn, thì+ lim(un ± vn ) = u ± v+ lim(un vn ) = uvunu+ lim= ,v = 0vnv√√+ Nếu un ≥ 0∀n ∈ N thì u ≥ 0 và lim un = u• Giới hạn vô hạnun+ Nếu lim un = a; lim vn = ±∞ thì lim=0vnun= +∞vn+ Nếu lim un = +∞; lim vn = a > 0 thì lim un vn = +∞+ Nếu lim un = a > 0; lim vn = 0; vn > 0∀n thì limWiKi Way7Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2∞: Chia tử và mẫu cho số hạng chứa mũ cao nhất của tử và mẫu, sử dụng công∞1thức lim k = 0, với k ∈ N∗n4. Dạng ∞ − ∞∞• Biến đổi về dạng∞• Nếu hàm số chứa căn thì nhân với biểu thức liên hợp. Lưu ý một số công thức3. DạngA±B =A2 − B 2;A∓BA±B =A3 ± B 3A2 ∓ AB + B 2B. BÀI TẬPBài 1. Tìm các giới hạn sau:a)b)c)d)e)f)g)h)i)j)lim(n2 − n + 1)lim(−n2 + n + 1)√lim 2n2 − 3n − 8√3lim 1 + 2n − n3lim(2n + cos n)1 2n − 3 sin 2n + 5lim2lim(−3n3 + 4n2 − 5n + 6)√lim 3n4 + 5n3 − 6n + 1√lim 3.4n − 2n + 1√3lim n3 + n2 + n + 1Lời giải: Đặt nhân tử chung là số mũ cao nhất, sau đó áp dụng các tính chất trongphần A.2 và cách tính các giới hạn đặc biệt trong phần A.1.1111a) lim(n2 − n + 1) = lim n2 1 − + 2 = lim n2 . lim 1 − lim + lim 2 = +∞n nnn11(vì lim n2 = +∞; lim 1 = 1; lim = lim 2 = 0)nn11b) lim(−n2 + n + 1) = lim n2 −1 + + 2 = −∞ (vì lim n2 = +∞ vàn n11lim −1 + + 2 = −1)n n√c) lim 2n2 − 3n − 8 = limn2 2 −38− 2n n√= lim n2 . lim2−38− 2n n38− 2 = +∞ (ta có |n| = n vì n là số tự nhiên dương,n n√38lim n = +∞, lim 2 − − 2 = 2)n n√√1212333d) lim 1 + 2n − n3 = lim 3 n3+ − 1 = lim n3 .+ −133nnnn√1212333= lim n. lim+−1=−∞(vìlimn=+∞,lim+−1=−1 =n3 nn3 n−1)= lim |n|. limWiKi Way2−8Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2cosn= 0 vì tử số có giáncos ntrị trong khoảng [−1, +1] và mẫu số tiến đến vô cực, do đó lim 2 += 2,nlim n = +∞)1 21 3 sin 2nsin 2n5limn − 3 sin 2n + 5 = lim n2−+ 2 = +∞ (lim= 0222nnn2vì tử số có giá trị trong khoảng [−1, +1] và mẫu số tiến đến vô cực, do đó151 3 sin 2n−+ 2 = , lim n2 = +∞)lim22nn2456lim(−3n3 + 4n2 − 5n + 6) = lim n3 −3 + − 2 + 3 = −∞ (vì lim n3 =n nn546+∞, lim = lim 2 = lim 3 = 0)nnn√561lim 3n4 + 5n3 − 6n + 1 = lim n4 3 + − 3 + 4n nn√665151= lim n4 . 3 + − 3 + 4 = lim n2 . lim 3 + − 3 + 4 = +∞n nnn nn6152(vì lim n = +∞, lim = lim 3 = lim 4 = 0)nnn√2n12n1lim 3.4n − 2n + 1 = lim 4n . 3 − n + n = lim (2n )2 . lim 3 − n + n4444e) lim(2n + cos n) = lim n 2 +f)g)h)i)= lim 2n . lim 3 − limcos nn= +∞ (ta thấy lim2n1+ lim n .n44Ta có• lim 2n = +∞• lim 3 = 3nn2n2n1= 0. Áp dụng định lý kẹp ta• Vì 0 ≤ n ≤ n , và lim 0 = 0, lim n = lim4442nsuy ra lim n = 041• lim n = 0 do tử số tiến đến 1, mẫu số tiến đến vô cực.4Do đó√2n1lim 3.4n − 2n + 1 = lim 2n . lim 3 − lim n + lim n = +∞.44j) lim√3n3 + n2 + n + 1 = lim√33n3 1 +111+ 2+ 3n nn1111113+ 2 + 3 = lim n. lim 1 + + 2 + 3 = +∞n nnn nn111(vì lim n = +∞, lim = lim 2 = lim 3 = 0)nnnBài 2. Tìm các giới hạn sau:= limn3 .31+n3 + n + 1a) limn2 + 23n + 2n + 4b) limn7 + 2WiKi Way9Giải đề cươngToán 11 học kỳ 24n2 − n + 16n2 − 52n3 + n + 2d) limn2 + 42n + 1e) lim 3n + 4n2 + 3n2 + 1f) lim 42n + n + 12n2 − n + 3g) lim 23n + 2n + 13n3 + 2n2 + nh) limn3 + 4∞, áp dụng phần A.3.Lời giải: Dạng∞1111n3 . 1 + 2 + 31+ 2 + 33n +n+1nnnn = +∞ (vì lim 1a) lim=lim=lim1212n2 + 2n+ 3n3 .+ 3n nn n112lim 2 = lim 3 = lim 3 = 0)nnn124124++n7 .++346746n + 2n + 4nnnnnn7 = 0 (vì lim 1b) lim=lim=lim22n7 + 2n41+ 7n7 . 1 + 7nn242lim 6 = lim 7 = lim 7 = 0)nnn1111n2 . 4 − + 24−+24n − n + 1n nn n2 = 4 = 2 (vì lim 1= limc) lim= lim2556n − 563n6− 2n2 . 6 − 2nn1lim 2 = 0)n1212n3 . 2 + 2 + 32+ 2 + 332n + n + 2nnnn = +∞ (vì lim 1d) lim= lim= lim21414n +4n+ 3n3 .+ 3n nn n142lim 2 = lim 3 = lim 3 = 0)nnn2121n3 .+ 3+ 3222n + 14nnn= lim ne) lim 3= lim= 0 (vì lim24343n + 4n + 3n1+ + 3n3 . 1 + + 3n nn n213lim 2 = lim 3 = lim 3 = 0)nnn1111n4 .+ 4+ 4222n +11nnnf) lim 4= lim= lim n= 0 (vì lim 211112n + n + 1n2+ 3 + 4n4 . 2 + 3 + 4nnnn11lim 3 = lim 4 = 0)nnc) limWiKi Way======10Giải đề cươngToán 11 học kỳ 213+ 22n − n + 3n n= limg) lim 2123n + 2n + 1n2 . 3 + + 2n n213lim = lim 2 = lim 2 = 0)nnn21n3 . 3 + + 2323n + 2n + nn nh) lim=lim1n3 + 4n3 . 1 + 3n11lim 2 = lim 3 = 0)nnBài 3. Tìm các giới hạn sau:3n3 (2n + 1)6a) lim(2n − 1)2 (n + 1)7(3n + 1)(n − 1)2b) limn3 + 3n − 1n3 + n − 1c) lim(4n + 7)(n + 2)2n4d) lim(n + 1)(2 + n)(n2 + 1)∞Lời giải: (Dạng)∞3n3 (2n + 1)6= lima) lim(2n − 1)2 (n + 1)73n3 n6 2 += limn2b) lim12−n1n 3+nn3c) limWiKi Way2n71n3n31n 2−n2−= lim61n 2+n2711+n1n 3+nn3 + n − 1= lim(4n + 7)(n + 2)212−n21n 1−n1n611+n7=3.26= 4822 .17231− 32nn113+1−nn= lim311+ 2 − 3nn11n3 1 + − 3n nn3 1 +1n 1−n311+ 2 − 3nn271n 1+n3 2+= lim12+ 2n n = 3 (vì lim 2 =1n1+ 3n3+6(3n + 1)(n − 1)2= limn3 + 3n − 1= lim13+ 2n n = 2 (vì lim 1 == lim123n3+ + 2n nn2 . 2 −227n 4+n2n 1+n2=3211Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2n3 1 += lim11− 3n n1+2= lim27n2 1 +nn4n= limd) lim(n + 1)(2 + n)(n2 + 1)4+n 4+= lim2+1n7n1+2n2=14n4n 1+111+n11− 3n n11+ 2n1nn21+ 1 n2 1 + 2nn=1Bài 4. Tính các giới hạn sau√n2 + 2n + n − 2√a) limn2 + 2n√b) lim √2n + 2n + n2 + 1√3 + 3 n3 + 1c) lim5(3n + 1)√√n2 + 2n − 2n + 2d) lim3n + 1√3n3 − 5n + 9e) lim√ 3n − 29n2 + 1 − 2nf) lim6n + 2∞Lời giải: (Dạng)∞√a) limn2 + 2n + n − 2√= limn2 + 2√n2 1 +2n+n 1−n2 1 +2n2n22222+n 1−n 1+ +n 1−nnnn= lim= lim√22n2 1 + 2n 1+ 2nn2222n1+ +1−√1+ +1−nn1+1nn= lim= lim= √=2122n. 1 + 21+ 2nnnn√b) lim √= lim22n + 2n + n + 121n2 1 ++ n2 1 +nnnn= lim= lim√√2121n2 1 + + n2 1 +n 1+ +n 1+nnnnWiKi Wayn21+12Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2n= limn2+n1+√31= lim1n1+33+n31+n3 1 +3++1c) lim= lim5(3n + 1)11√ ==√21+ 111+n2+n1n3√3n33+31+1n3= lim115n 3 +5n 3 +nn313113n+ 3 1+ 3+ 3 1+ 3n. + n 3 1 + 3nn1nnnn= lim= lim== lim111155n 3 +5n 3 +5 3+nnn√d) lim√n2 + 2n − 2n + 2= lim3n + 1√n2= limn2 √ 2− nn1n 3+n22+1+ −nn1+= limn 3+√322+ 2n nn2−1n2n 1+ −nn= limn 3+2n21+= lim2−n3+3− 5n + 9= lim3n − 22nn 3+22+ 2n n1nn3n2 1 +n3 1 −√1n59+ 32nnf) lim9n2+ 1 − 2n= lim6n + 21n2√39+= lim1−2n22n 6+n√=11=3359+ 32nn2n 3−n3n3√− 2n2n 6+n1n− 2nn2= lim2n 6+nn 9+= limn2 9 +1n22+ 2n n= lim2n 3−n59593n3 1− 2 + 31− 2 + 31nnnn= lim= lim=2233−n 3−nne) lim22+ 2n n1−1− 2nn22n 6+nn29+1−21n2=266+n9+= limBài 5. Tính các giới hạn sau:√n + 4 − n2 − 1a) lim √4n2 + 5 − 2n + 1WiKi Way13Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2√√n2 + 1 + nb) lim √√n2 + n − n1√c) lim √n2 + 2 − n2 + 4√4n2 + 1 − 2n − 1d) lim √n2 + 4n + 1 − n0∞Lời giải: Dạng , ta thực hiện nhân với lượng liên hợp để đưa bài toán về dạng,0∞sau đó áp dụng phần A.3.√n + 4 − n2 − 1a) lim √4n2 + 5 − 2n√√√+1(n + 4 − n2 − 1)(n + 4 + n2 − 1)( 4n2 + 5 + 2n − 1)√√= lim √( 4n2 + 5 − 2n + 1)(n+ 4 + n2 − 1)( 4n2 + 5 + 2n − 1)√[(n + 4)2 − (n2 − 1)]( 4n2 + 5 + 2n − 1)√= lim[4n2 + 5 −√(2n − 1)2 ](n + 4 + n2 − 1)(8n + 17)( 4n2 + 5 + 2n − 1)√= lim(4n + 4)(n + 4 + n2 − 1)51174+ 2 +2−8+√nnn8.( 4 + 2)√ =4== lim4.(1 + 1)1444+1+ + 1− 2nnn√√√√ √√n2 + 1 + n( n2 + 1 + n)( n2 + 1 − n)b) lim √√ = lim √ 2√ √√n2√+ n − n( n + n − n)( n2 + 1 − n)√( n2 + 1)2 − ( n)2n2 − n + 1= lim √= lim√2( n2 + n − n)211n 1+ −nnn11n2 1 − + 2n n= lim2 = 111n21+ −nn√√1n2 + 2 + n2 + 4√√√√c) lim √= lim √n2 + 2 − n2 + 4( n2 + 2 − n2 + 4)( n2 + 2 + n2 + 4)24241+ 2 + 1+ 2nn 1+ 2 +n 1+ 2nnnn√= lim √= lim= +∞−2( n2 + 2)2 − ( n2 + 4)2√4n2 + 1 − 2n − 1d) lim √2 + 4n + 1 − nn√√√( 4n2 + 1 − 2n − 1)( 4n2 + 1 + 2n + 1)( n2 + 4n + 1 + n)√√= lim √( n2 + 4n + 1 − n)( √4n2 + 1 + 2n + 1)( n2 + 4n + 1 + n)4n2 + 1 − (2n + 1)2 ( n2 + 4n + 1 + n)√= lim2 )( 4n2 + 1 + 2n + 1)(n2 + 4n+1−n√−4n( n2 + 4n + 1 + n)√= lim(4n + 1)( 4n2 + 1 + 2n + 1)WiKi Way14Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2−41+41+ 2 +1n n= lim=4+1n4+11+2+2nn−1−4.2=4.42Bài 6. Tính các giới hạn sau:√n2 + 2n − 3 − na) lim√√b) limn+1− n√√c) limn2 + 1 − n2 − 2√n2 + 2013 − n + 5d) lim√e) limn2 + 2n − n − 1√f) lim 1 + n2 − n4 + 3n + 1√g) lim4n2 + n + 1 − 2n + 1√h) lim n + 1 − n2 + 3n + 1√i) limn2 − 2n + 3 − n + 2Lời giải: Dạng ∞ − ∞, áp dụng phần A.4.√√n2 + 2n − 3 − nn2 + 2n − 3 + n√2√a) limn + 2n − 3 − n = limn2 + 2n − 3 + n3n 2−22n + 2n − 3 − n2n= lim= lim==11+13223n 1+ − 2 +nn1+ − 2 +1n nn n√√√√n+1− nn+1+ n√√√b) limn + 1 − n = lim√n+1+ n2√√ 2n+1 −n1√= lim= lim √√√ =0n+1+ nn+1+ n√√√√n2 + 1 − n2 − 2n2 + 1 + n2 − 2√√√√c) limn2 + 1 − n2 − 2 = limn2 + 1 + n2 − 222√√n2 + 1 −n2 − 23= lim= lim=01212n 1+ 2 +n 1− 2n1+ 2 + 1− 2nnnn√√n2 + 2013 − n + 5n2 + 2013 + n − 5√2√d) limn + 2013 − n + 5 = limn2 + 2013 + n − 52√n2 + 2013 − (n − 5)2n2 + 2013 − n2 − 10n + 25= lim= lim20132013n 1+ 2 +n−5n 1+ 2 +n−5nnWiKi Way15Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2n= limn201325+ 10 −nn1+=20135+1−2nn√e) limn2 + 2n − n − 1 = lim√n2 + 2n210=52√√n2 + 2n − n − 1n2 + 2n + n + 1√n2 + 2n + n + 1− (n + 1)2= lim−1= lim1111n 1 + + n + n.n1+ +1+nnnn√f) lim 1 + n2 − n4 + 3n + 1√√1 + n2 − n4 + 3n + 1 1 + n2 + n4 + 3n + 1√= lim1 + n2 + n4 + 3n + 1(1 + n2 )2 − (n4 + 3n + 1)√= lim= lim1 + n2 + n4 + 3n + 1n2 2 −= limn21+1+n23n1+2n2 − n2 .n2 .=31+n3 n41+ n2 + n2n2=03n1+13+n3 n42√ =11+ 1√4n2 + n + 1 − 2n + 1√√4n2 + n + 1 − 2n + 14n2 + n + 1 + 2n − 1√= lim4n2 + n + 1 + 2n − 12(4n + n + 1) − (2n − 1)25n= lim= lim111111n 4 + + 2 + 2n − n.n4+ + 2 +2−n nnn nn55=√=44+2√h) lim n + 1 − n2 + 3n + 1√√n + 1 − n2 + 3n + 1 n + 1 + n2 + 3n + 1√= limn + 1 + n2 + 3n + 1−n(n + 1)2 − (n2 + 3n + 1)= lim= lim131131n + n. + n 1 + + 2n 1+ + 1+ + 2nn nnn n−1−1√ ==21+ 1√i) limn2 − 2n + 3 − n + 2√√n2 − 2n + 3 − n + 2n2 − 2n + 3 + n − 2√= limn2 − 2n + 3 + n − 2g) limWiKi Way16Giải đề cươngToán 11 học kỳ 22n 2−2(n − 2n + 3) − (n − 2)= lim322n 1 − + 2 + n − n.nn nn2= lim √=11+1= lim1−1n232+ 2 +1−n nnBài 7. Tính các giới hạn sau:√3a) lim2n − n3 + n − 1√3b) limn3 − 2n2 − n√3n3 + n2 − nc) lim nd) lim√3n+2−√3n√3n3 + n2 − n√3f) lim n + 2 − n3 + 2n + 6√3g) lim 2n + 1 − 8n3√3h) limn3 + 8n + 1 − ne) limLời giải: Dạng ∞ − ∞, áp dụng phần A.4.a) lim√32n − n3 + n − 1 = lim √32n − n32n − n3 + (n − 1)32√− 3 2n − n3 .(n − 1) + (n − 1)22n − 3n2 + 3n − 1= limn2 .3= lim322−1n212− n.− 1 .n. 1 −2nn15−3 + − 2n n322−1n23−21−1.1−n2n−3= −11+1+1√3b) limn3 − 2n2 − n = lim √3+ 1−+1nn2 .11−n22=−2n2= lim3n221−n3WiKi Way2+ n2 .31−2n−2= limc) lim nn3 − 2n2 − n32√n3 − 2n2 + 3 n3 − 2n2 .n + n21−2n=2+√3n3 + n2 − n+ n231−2n−23+1= lim n. √3n3 + n2 − n32√n3 + n2 + 3 n3 + n2 .n + n217Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2n2= lim n.3n2 .11+nn23+ n21n1++ n2= +∞21131++ 3 1+ +1nn√√n+2−nd) lim 3 n + 2 − 3 n = lim √2√√22 √3n+2+ 3n+2 .3n+ 3n2=0= lim √2√√2 √23333n+2 + n+2 . n+n= lime) lim√3n3 + n2 − n = lim √3n3 + n2 − n32√n3 + n2 + 3 n3 + n2 .n + n2n2= limn2 .3211+n+ n.31+1= lim1n=211+ 3 1+ +1nn√3f) lim n + 2 − n3 + 2n + 6 = lim3.n + n2131+(n + 2)3 − (n3 + 2n + 6)√√(n + 2)2 + (n + 2). 3 n3 + 2n + 6 + 3 n3 + 2n + 66n2 + 10n + 2= lim2n2 . 1 +n= lim222+n 1+n62.n. 1 + 2 + 3 + n2 .nn1026++ 2nn33621+ 2 + 3nn22 = 222226261++ 1+.3 1+ 2 + 3 + 3 1+ 2 + 3nnnnnn√8n3 + (1 − 8n3 )3g) lim 2n + 1 − 8n3 = lim2√√4n2 − 2n 3 1 − 8n3 + 3 1 − 8n31= lim2 = 0114n2 − 2n2 3 3 − 8 + n2 3 3 − 8nn√n3 + 8n + 1 − n33h) limn3 + 8n + 1 − n = lim √2√3n3 + 8n + 1 + 3 n3 + 8n + 1.n + n28n + 1= lim281813n21+ 2 + 3+ n2 3 1 + 2 + 3 + n2nnnnWiKi Way182Giải đề cươngToán 11 học kỳ 218+ 2n n= lim3811+ 2 + 3nn2+3=0811+ 2 + 3 +1nnBài 8. Tính các giới hạn sau:√√3a) limn3 + 1 − n2 + 1√√34n2 + 1. n3 + 2 − 2n2b) limLời giải: Ta thêm bớt một lượng trung gian như sau:√√√√33a) A = limn3 + 1 − n2 + 1 = limn3 + 1 − n + n − n2 + 1√3A1 = limn3 + 1 − n = 0√A2 = lim n − n2 + 1 = 0Vậy A = A1 + A2 = 0√√34n2 + 1. n3 + 2 − 2n2b) B = lim√√√√3= lim4n2 + 1. n3 + 2 − 4n2 + 1.n + 4n2 + 1.n − 2n2√√√√√334n2 + 1. n3 + 2 − 4n2 + 1.n = lim 4n2 + 1n3 + 2 − nB1 = lim√2= lim 4n2 + 1. √2√3n3 + 2 + 3 n3 + 2.n + n22.14+ 42nn=02223+ 3 1+ 3 +11+ 3nn√√1B2 = lim4n2 + 1.n − 2n2 = lim n4n2 + 1 − 2n = lim n. √4n2 + 1 + 2n11= lim=414+ 2 +2n1Vậy B = B1 + B2 =4Bài 9. Tính các giới hạn sau:2n + 3na) lim n2 + 5.3n2n .3n+1 − 2b) lim n6 + 5.3n2n+1 + 4nc) lim n2 + 2.4n2n + 3nd) lim n−13+ 4n+1Lời giải:= lim2n + 3na) lim n= lim2 + 5.3nWiKi Way3n3n2n+13n2n+53n23= lim23n+1=n+51519Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2223− n2 .3−26n6= limb) lim n= limn36 + 5.3n16n 1 + 5. n1 + 5.62nn21+14n 2. n + 12.n+1n2+442c) lim n= lim= limn2n2 + 2.4n1n4+2+24n22nn3+1n32n + 3n3n=lim.d) lim n−1=lim3n13+ 4n+141n4+.n3.443nn+16n 3 −n=3=233412n+1n+14= 0.1=014Bài 10. Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn1 11a) S = 2 + + ++ ...3 6 1211(−1)n− 2 + . . . + n−1 + . . .b) S = 1 +10 10101 + 2 + 22 + . . . + 2nc) lim1 + 3 + 32 + . . . + 3n11 1 1d) S = 3 + + + + . . . + n + . . .2 4 82e) S = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... với |x| ≤ 11 + a + a2 + . . . anf) L = limvới |a|, |b| ≤ 1n→∞ 1 + b + b2 + . . . + bnLời giải:1 11a) S = 2 + + ++ ...3 6 12 n11−11 182= 2 + lim .=2+ . =133 131−2211(−1)nb) S = 1 +−+ . . . + n−1 + . . .10 10210n−11−1 112110= 1 + lim .=1+ .=11−11010111−10101 + 2 + 22 + . . . + 2nc) lim1 + 3 + 32 + . . . + 3n12n 2 − nn+1(2− 1)(3 − 1)2= lim=0= lim 2.n+11(2 − 1)(3− 1)3n 3 − n31 1 11d) S = 3 + + + + . . . + n + . . .2 4 82111− n22= 3 + lim=3+1=411−2WiKi Way20Giải đề cươngToán 11 học kỳ 2e) S = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... với |x| < 11S1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . . =1−x1234S2 = x + x + x + x + . . . = x.1−x12342S3 = x + x + x + . . . = x .1−x...111S = S1 + S2 + S3 + . . . =1 + x + x2 + . . . =.1−x1−x 1−x1=(1 − x)21 + a + a2 + . . . anf) L = limn→∞ 1 + b + b2 + . . . + bn1−b1==11−a(1 − a)1−bBài 11. Tính các giới hạn sau:(Áp dụng định lý kẹp)(−1)nn2 + 1cos 4nb) lim−65n(−1)n sin n2 + cos n√c) lim23n+1(−1)n1d) lim− n+1n+123nπn + cos√5e) lim √n n+ n2n. sin nf) lim 2n +1Lời giải:a) lim 9 +(−1)nn2 + 1−1(−1)n1≤ 2≤ 2Ta có 2n +1n +1n +1−1lim 2=0n +11lim 2=0n +1(−1)n=0Theo định lý kẹp ta có lim 2n +1Vậy A = 9 + 0 = 9cos 4nb) B = lim−65n−1cos 4n1Ta có≤≤5n5n5n−1lim=05n1lim=05na) A = lim 9 +WiKi Way21Giải đề cươngTheo định lý kẹp ta có limc)d)e)f)WiKi WayToán 11 học kỳ 2cos 4n=05nVậy B = 0 − 6 = −6(−1)n sin n2 + cos n√C = lim23n+1−2(−1)n sin n2 + cos n2√Ta có √≤≤ √3332 n+12 n+12 n+1−2lim √=023n+12lim √=032 n+1Theo định lí kẹp ta có C = 01(−1)n− n+1D = limn+123n−1(−1)1Ta có n+1 ≤ n+1 ≤ n+1222−1lim n+1 = 021lim n+1 = 02(−1)nTheo định lí kẹp ta có lim n+1 = 02Vậy D = 0 − 0 = 0nπcosnπ5n + cos1+n√5 = limE = lim √√1n n+ nn 1+nnπcos−15 ≤ 1Ta có≤nnn−1lim=0n1lim = 0nnπcos5 =0Theo định lý kẹp ta có limnVậy E=0sin n22n. sin nnF = lim 2= lim1n +11+ 2n−1sin n1Ta có≤≤nnn−1lim=0n1lim = 0nsin nTheo định lý kẹp ta có lim=0n0Vậy F = = 0122 |
