Tam thức bậc hai là gì

1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng $a{x^2} + bx + c$. Trong đó \(a,b,c\) là những số cho trước với \(a \ne 0\).

Nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$; \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Định lí.

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c(a \ne 0)\) có biệt thức \(∆ = b^2– 4ac\).

- Nếu \(∆ < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in R\).

- Nếu \(∆ = 0\) thì \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = -\dfrac{b}{2a}\).

Khi đó \(f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x ≠ -\dfrac{b}{2a}\).

- Nếu \(∆ > 0, f(x)\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in ({x_1};{x_2})\)

Chú ý:

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

Khi xét dấu tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, các em có thể nhớ theo quy tắc “Trong trái ngoài cùng”, nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với \(a\), ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với \(a\)

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$

$a{x^2} + bx + c > 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c \ge 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c < 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c \le 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.$

Cách xét dấu của tam thức bậc 2 và bài tập áp dụng

Lý thuyết về cách xét dấu của tam thức bậc 2. Và các bài tập xét dấu tam thức bậc 2 có lời giải giúp các em học sinh lớp 10 ôn tập lại kiến thức.

Trước tiên chúng ta ôn lại lý thuyết định nghĩa tam thức bậc hai là gì?

Định nghĩa tam thức bậc 2

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng $ \displaystyle f(x)=a{{x}^{2}} bx c$, trong đó $a, b, c$ là những hệ số, $a≠ 0$.

Ví dụ:

$ \displaystyle f(x)={{x}^{2}}-4x 5$ là tam thức bậc hai

$f(x) = {{x}^{2}}(2x-3)$ không phải là tam thức bậc hai.

Định lý về dấu của tam thức bậc 2

Cho $ \displaystyle f(x)=a{{x}^{2}} bx c$, $Δ = {b^2} – 4ac$.

– Nếu $Δ<0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi x∈ R.

– Nếu $Δ=0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số $a$ trừ khi $\displaystyle x\text{ }=-\frac{b}{{2\text{a}}}$.

–Nếu $Δ>0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số $a$ khi $x<{{x}_{1}}$ hoặc $x>{{x}_{2}}$; trái dấu với hệ số $a$ khi ${{x}_{1}}

*Mẹo nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm: Trong trái ngoài cùng

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

– Bước 1: Tìm nghiệm của tam thức

– Bước 2: Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số $a$

– Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Bài tập xét dấu của tam thức bậc 2

Bài 1: Xét dấu của các tam thức bậc hai dưới đây

$\displaystyle {a)\text{ }5{{x}^{2}}~-\text{ }3x\text{ } \text{ }1}$

$\displaystyle {b)\text{ }-2{{x}^{2}}~ \text{ }3x\text{ } \text{ }5}$

$\displaystyle {c)\text{ }{{x}^{2}}~ \text{ }12x\text{ } \text{ }36}$

$\displaystyle {d)\text{ }\left( {2x\text{ }-\text{ }3} \right)\left( {x\text{ } \text{ }5} \right)}$

Lời giải:

$\displaystyle {a)\text{ }5{{x}^{2}}~-\text{ }3x\text{ } \text{ }1}$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)\text{ }=\text{ }5{{x}^{2}}~\text{ }3x\text{ } \text{ }1$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=920=11<0$ nên $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$.

– Mà $a = 5 > 0$ ⇒ $f(x) > 0$ với ∀ $x ∈ R$.

$\displaystyle b)\text{ }-2{{x}^{2}}~ \text{ }3x\text{ } \text{ }5$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)\text{ }=\text{ }2{{x}^{2}}~ \text{ }3x\text{ } \text{ }5$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=9 40=49>0$.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle {{x}_{1}}=1;\text{ }{{x}_{2}}~=\frac{5}{2}$, hệ số $a = –2 < 0$.

– Ta có bảng xét dấu:

$f(x) > 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {1;\frac{5}{2}} \right)$ – Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x) = 0$ khi $\displaystyle x=1\text{ };\text{ }x=\frac{5}{2}$

$f(x) < 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {\infty ;1} \right)\text{ }\cup \text{ }\left( {\frac{5}{2}; \infty } \right)$

$\displaystyle c)\text{ }{{x}^{2}}~ \text{ }12x\text{ } \text{ }36$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)\text{ }=\text{ }{{x}^{2}}~ \text{ }12x\text{ } \text{ }36$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=~144~-144=~0$.

– Tam thức có nghiệm kép $x = –6$, hệ số $a = 1 > 0$.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x) > 0$ với $∀x ≠ –6$

$f(x) = 0$ khi $x = –6$

$d) (2x – 3)(x 5)$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)\text{ }=\text{ }2{{x}^{2}}~ \text{ }7x\text{ }\text{ }15$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=49~ 120=169>0$.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle {{x}_{1}}~=\frac{3}{2};\text{ }{{x}_{2}}~=5$, hệ số $a = 2 > 0$.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x) > 0$ khi $\displaystyle x\text{ }\in \text{ }\left( {\infty ;\text{ }5} \right)\text{ }\cup \text{ }\left( {3/2;\text{ } \infty } \right)$

$f(x) = 0$ khi $\displaystyle x=5\text{ };\text{ }x=\frac{3}{2}$

$ f(x) < 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {5;\frac{3}{2}} \right)$

Toán lớp 10 - Tags: bậc 2, cách xét dấu, tam thức, tam thức bậc 2

• Cách tìm cực trị hình học bằng vectơ – Toán lớp 10

• Ứng dụng của vectơ trong giải toán hình học, đại số, giải tích

• Ứng dụng vectơ để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, đi qua điểm cố định – Toán lớp 10

• Ứng dụng vectơ để chứng minh hai đường thẳng song song, 3 đường thẳng đồng quy – Toán lớp 10

• Cách chứng minh đẳng thức véctơ – Toán lớp 10

• Đề cương ôn tập HK2 môn Toán lớp 10

• 244 câu trắc nghiệm Đại số lớp 10 chương 3 có lời giải

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2+bx+c trong đó a, b, c là những số cho trước với a khác 0

Nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai.

f (x) = ax2+bx+c 

với ∆=b2-4ac (biệt thức của tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c

và ∆'=b'2-ac (biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c.

Ví dụ: Hãy cho biết có bao nhiêu tam thức bậc hai

1. f (x) = x2x-2
2. f (x) = x2-4
3. f (x) = x-3x-7
4. f (x) = x-52

Đáp án: 3 tam thức bậc hai

Định lý tam thức bậc hai

Định lý tam thức bậc hai (Nguồn: Internet)

Cho f (x) =  ax2+bx+c (a khác 0)

kí hiệu x1, x2 là nghiệm của f (x) = 0 ta có

S = x1+x2=-ba

P = x1.x2=ca

Ta có mẹo ghi nhớ “Trong trái, ngoài cùng” (nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, còn bên ngoài hai nghiệm thì cùng dấu với a)

∆<0→a.fx>0 với ∀x∈R∆=0→a.fx>0 với ∀x≠-ba hoặc a.fx≥0 với∀x∈R∆>0 thì fx có 2 nghiệm:

• Với mọi x nằm trong khoảng hai nghiệm thì f (x) trái dấu với a
• Với mọi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f (x) cùng dấu với a

BẢNG XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI
Dấu của biệt thức ∆	Dấu của f(x)
∆<0	afx>0, ∀x∈R
∆=0	afx≥0, ∀x∈R
∆>0 Phương trình fx=0 có 2 nghiệm x1	afx>0,∀x∈-∞; x1∪x2; +∞ afx<0,∀x∈x1;x2

• Cách xét dấu của tam thức bậc hai:

Bước 1: Tính∆, bấm máy tính và tìm hai nghiệm của tam thức bậc hai

Bước 2: Dựa vào hệ số a và lập bảng xét dấu (trong trái ngoài cùng)

Bước 3: Tiến hành xét dấu của bảng và đưa ra kết luận

fx=ax2+bx+c,a≠0
∆<0	afx>0,∀x∈R
∆=0	afx>0,∀x∈R∖-b2a
∆>0	afx>0,∀x∈-∞;x1∪x2;+∞
afx<0,∀x∈x1;x2

Cho f (x) =  ax2+bx+c (a khác 0). Nếu có số α thỏa mãn a. f (α) < 0 thì f (x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1<α

Hệ quả

1. a. f (x) < 0 ⇔∆>0 và x1<α
2. a. f (x) = 0 ⇔αlà nghiệm của f (x)
3. a. f (α) > 0 và ∆>0⇒α∉x1;x2

αα

x1

Một số bài toán áp dụng

Bài toán 1: Cho tam thức bậc hai sau và tiến hành xét dấu:

f (x) = 3x2+2x-5

ta có ∆=b2-4ac=22-4.3.-5=27>0

→ phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm

x1=-53x2=1

Lập bảng xét dấu: “Trong trái ngoài cùng”

x	-∞	-53		1	+∞
f(x)	+	0	-	0	+

Như vậy:

f (x) < 0 → x ∈-53;1

f (x) > 0 → x ∈-∞;-53∪1;+∞

Bài toán 2:  Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5x2-3x+1

b) -2x2+3x+5

c) x2+12x+36

d) (2x - 3)(x + 5)

Hướng dẫn

a) Tam thức f(x) = 5x2-3x+1 có Δ = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

Mà a = 5 > 0

Do đó f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) Tam thức f(x) = -2x2+3x+5 có Δ = 9 + 40 = 49 > 0.

Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1=-1; x2=52, hệ số a = –2 < 0

Ta có bảng xét dấu sau

x	-∞	-1		52	+∞
f(x)	-	0	+	0	-

Như vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 52)

f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 52

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (52; +∞)

c) Tam thức f(x) = x2+12x+36 có một nghiệm là x = –6, hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau

Như vậy f(x) > 0 với ∀ x ≠ –6

f(x) = 0 khi x = –6

d) f(x) = (2x – 3)(x + 5) = 2x2+ 7x – 15

Tam thức f(x) = 2x2 + 7x – 15 có hai nghiệm phân biệt x1=32; x2=-5, hệ số a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau

x	-∞	-5		32	+∞
f (x)	+	0	-	0	+

Như vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (32; +∞)

f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 32

f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 32)

Một số bài tập tự áp dụng để rèn luyện

Bài 1: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f (x) = mx2+ (m – 1)x + 3 – 4m = 0 và thoả mãn x1<2

Đáp án: phương trình có hai nghiệm thoả mãn x1<2

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f (x) = x2– 2mx + m = 0 và thoả mãn x1, x2 thuộc (-1;3)

Đáp án: -13 <_m3c_0 _hoe1bab7_c="">95

Bài 3: Tìm m sao cho f (x)= 2x2- 2(m + 1)x + 2m + 1 > 0 ∀x ∈ R

Đáp án: 1 -  2 < m < 1 + 2

Bài 4: Tìm m sao cho f (x)= (m-1)x2- (m - 1)x + 1- 2m ≤ 0 ∀x ∈ R

Đáp án: 59≤m≤1

Trên đây là những công thức dấu của tam thức bậc hai và một số bài tập ví dụ, đây là kiến thức vô cùng căn bản được học sau bài học cách giải phương trình bậc hai nằm trong chuyên đề về hàm số. Các bạn nên chăm chỉ thực hành mỗi ngày để nắm chắc các quy tắc nhé!

Cách tìm điểm uốn đồ thị hàm số : Những kiến thức cơ bản cần nhớ về điểm uốn đồ thị hàm số. Kèm theo là những ví dụ chi tiết.

Công thức tính tích phân và những điều bạn nhất định phải ghi nhớ : Công thức tính tích phân là phần kiến thức quan trọng. Ghi nhớ các công thức tính tích phân để giải toán dễ dàng hơn.