Phương trình thuần nhất là gì năm 2024

Bài viết Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx.

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng:

a.sin2 x+ b. sinx. cosx + c. cos2 x= 0 (1)

trong đó a; b và c là các số đã cho với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 hoặc c ≠ 0

+Có hai cách để giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx :

* Cách 1.

Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 có nghiệm của phương trình.

Chú ý: cosx=0 ⇒ sin2 x= 1

Bước 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế của phương trình cho cos2x. Khi đó phương trình đã cho có dạng: a. tan2 x+ b. tanx+ c= 0

Đây là phương trình bậc hai ẩn tanx. Giải phương trình ta tính được tanx

⇒ x= ....

Chú ý:

* Cách 2.Áp dụng công thức hạ bậc; công thức nhân đôi ta có:

1. sin2 x+ b. sinx. cosx+ c.cos2 x= 0

⇒ b.sin2x+( c-a) cos2x = - a- c

Đây là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình:

4. Vô nghiệm

Lời giải

+ Trường hợp 1.

Thay cosx = 0 vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Với cosx ≠ 0

Phương trình này vô nghiệm

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Phương trình có các nghiệm là:

A.

C.

Lời giải

Trường hợp 1. Với cosx=0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được :

6.1+0 – 0= 6 (luôn đúng )

⇒ phương trình có nghiệm x= π/2+kπ

Trường hợp 2. Nếu cos x ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2x ta được

Chọn A

Ví dụ 3. Cho phương trình 2sin2 x – 5sinx. cosx +3cos2 x= 0. Tìm một họ nghiệm của phương trình:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx=0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:

2tan2 x – 5tanx + 3= 0

Chọn C

Ví dụ 4. Giải phương trình 4sin2 x+4sinx. cosx+ cos2x= 0 .

A.

B.x= arctan⁡(-2)+kπ

C.

D.x= arctan⁡2+kπ

Lời giải

+ Trường hợp 1.Nếu cosx= 0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos2 x ta được :

4tan2 x + 4tanx +1= 0 ⇒ (2tanx+1)2= 0

⇒ 2tanx+1 = 0 ⇒ tan x= (-1)/2

⇒ x= arctan⁡(- 1)/2+kπ

Chọn C.

Ví dụ 5. Phương trình có các nghiệm là:

A .

4. Tất cả sai

Lời giải

+ Trường hợp 1: Nếu cosx= 0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn

+ trường hợp 2: Nếu cosx ≠ 0 ta chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 6: Giải phương trình - 3sin2x – 2sinx.cosx + 4cos2 x= - 3

A.

B .

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:

- 3tan2 x -2tanx + 4= (- 3)/(cos2 x)

⇒ - 3tan2 x – 2tanx + 4= - 3( 1+ tan2 x)

⇒ - 2tanx = -7 ⇒ tanx= 7/2

⇒ x=arctan 7/2+kπ

Chọn A.

Ví dụ 7: Phương trình 2sin2 x+ sinx.cosx – cos2 x= 0 có nghiệm là:

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin2 x=1 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0; chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:

2tan2 x+ tanx – 1= 0

Chọn C.

Ví dụ 8: Một họ nghiệm của phương trình: 2sin2x - 5sinx.cosx–cos2 x= - 2 là

1. x=

2. x=

3. x=

4. x=

Lời giải

+ Trường hợp 1: Nếu cosx= 0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2 x ta được :

2 tan2x – 5 tanx - 1= (- 2)/(cos2 x)

⇒ 2tan2 x – 5tanx – 1= - 2( 1+ tan2x)

⇒ 2tan2x – 5tanx -1= - 2 – 2tan2 x

⇒ 4tan2 x – 5tanx + 1= 0

Chọn B.

Ví dụ 9. Cho phương trình : 2sin2 x- 4sinx.cosx+4 cos2x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm

1. 1 < m hoặc m < - 1

B.m > √3 hoặc m < - √5

3. 2- √5 ≤ m ≤ 2+ √5

D.Đáp án khác

Lời giải

Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có:

2sin2 x- 4sinx.cosx+ 4cos2 x=m

⇒ (1-cos2x)-2sin2x+2cos2x+1 = m

⇒ cos2x – 2sin2x = m- 2

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x nên điều kiện để phương trình có nghiệm là: 12 + (-2)2 ≥ (m-2)2

⇒ 5 ≥ m2 - 4m+ 4 ⇒ m2 – 4m - 1 ≤ 0

⇒ 2- √5 ≤ m ≤ 2+ √5

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 10: Giải phương trình 4sin3 x+ 3cos3x- 3sinx – sin2x.cosx= 0

4. Đáp án khác

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2.Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế cho cos3 x ta được:

⇒ 4.tan3 x+ 3- 3tanx.(1+ tan2 x) – tan2x = 0

⇒ 4.tan3 x + 3- 3tanx – 3tan3x – tan2 x = 0

⇒ tan3 x – tan2 x -3tanx + 3= 0

Chọn B.

Ví dụ 11: Giải phương trình 2cos3x = sin3x

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: 2cos3x = sin3x

⇒ 2cos3 x= 3sinx- 4sin3x

Ta thấy cosx=0 không là nghiệm của phương trình đã cho.Chia cả hai vế phương trình cho cos3 x ta được:

⇒ 2= 3. tanx( 1+ tan2 x) – 4tan3 x

⇒ 2= 3tanx + 3tan3x – 4tan3x

⇒ tan3x – 3tanx + 2= 0

Chọn C.

Ví dụ 12: Giải phương trình

4. Đáp án khác

Lời giải

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình 4sin2x+ 5sinx. cosx – 9cos2 x= 0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Trường hợp 1. Nếu cos x = 0 ⇒ sin2 x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0.

Chia cả hai vế cho cos2 x ta được:

4tan2 x + 5tanx – 9=0

Chọn A.

Câu 2:Giải phương trình – sin2 x – 2sin2x- 4cos2 x = 0

1. x = arctan (-3)+ kπ

2. x = arctan 3+ kπ

3. x = arctan 2+ kπ

4. x = arctan (-2)+ kπ

Lời giải:

+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thây không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0.

Ta có: - sin2 x – 2sin2x – 4cos2 x = 0

⇒ -sin2 x – 4sinx. cosx – 4cos2 x= 0

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được :

- tan2 x – 4tanx – 4= 0

⇒ - (tanx + 2)2 = 0

⇒ tanx +2= 0 ⇒ tanx = - 2

⇒ x = arctan (-2)+ kπ

Chọn D

Câu 3:Giải phương trình

C.

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có:

Chọn C.

Câu 4:Một họ nghiệm của phương trình: sin2 x – 3sinx. cosx = 2 là

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Lời giải:

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin2x= 1 thay vào phương trình đã cho thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0; chia cả hai vế phương trình cho cos2 x ta được :

tan2 x – 3tanx = 2/(cos2 x)

⇒ tan2 x -3tanx= 2( 1+tan2 x)

⇒ tan2 x – 3tanx = 2+ 2 tan2 x

⇒ - tan2 x – 3tanx – 2 = 0

Chọn C.

Câu 5:Giải phương trình 3sin2 x – 4sinx.cosx + 5cos2 x = 2.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ trường hợp 1.Nếu cosx=0 ⇒ sin2x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0.

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được :

3tan2 x – 4tan x+ 5= 2/(cos2 x)

⇒ 3. tan2 x – 4tanx + 5= 2( 1+ tan2 x)

⇒ tan2 x - 4tanx + 3= 0

Chọn A

Câu 6:Phương trình : có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Trương hợp 1.

Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2.

Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos2x ta được :

Chọn B.

Câu 7:Phương trình có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Trường hợp 1. Nếu cos2x = 0 ⇒ sin2 2x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2.Nếu cos2x ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos2 2x ta được :

Chọn D

Câu 8:Phương trình có một họ nghiệm là

Lời giải:

+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn.

⇒ x= π/2+kπ là nghiệm của phương trình đã cho

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0

Chọn D.

Câu 9:Giải phương trình sin2x + 3tanx = cosx.( 4sinx – cosx)

4. Đáp án khác

Lời giải:

Điều kiện : cosx ≠ 0

Ta có: sin2 x+ 3tanx =cosx. (4sinx-cosx)

⇒ sin2 x+ 3tanx= 4sinx. cosx- cos2x

Chia cả hai vế cho cos2 x ta được :

⇒ tan2 x+ 3tanx (1+ tan2 x)- 4tanx + 1= 0

⇒ tan2 x + 3tanx + 3tan3 x – 4tanx + 1 = 0

⇒ 3tan3 x + tan2 x – tanx +1= 0

⇒ tanx= - 1

⇒ x= (- π)/4+kπ

Chọn A.

Câu 10:Giải phương trình: sin2 x. ( tanx+ 1) = 3sinx.(cosx – sinx) + 3

B.

C.

4. Đáp án khác

Lời giải:

Điều kiện: cosx ≠ 0 .

Ta có: sin2 x. (tanx+ 1) = 3sinx.( cosx- sinx) + 3

⇒ sin2 x. (tanx+ 1) = 3sinx. cosx – 3sin2 x+ 3

⇒ sin2 x.(tanx+ 1) = 3sinx.cosx + 3cos2 x ( vì 3-3sin2 x= 3cos2 x)

Chia cả hai vế phương trình cho cos2 x ≠ 0 ta được :

tan2x. ( tanx+ 1) = 3tanx + 3

⇒ tan2 x. ( tanx+ 1) – (3tanx+ 3)= 0

⇒ tan2 x. (tanx +1)- 3( tanx+ 1) = 0

⇒ (tan2 x- 3)( tanx+ 1) = 0

Chọn B.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải phương trình: sin2x + 2sinx.cosx + 3cos2x – 3 = 0.

Bài 2. Cho phương trình: cos2x – sinx.cosx – 2sin2x – m = 0 (*).

1. Giải (*) khi m = 1.

2. Giải và biện luận theo m.

Bài 3. Giải phương trình: 2sin22x - sin2x.cos2x – 4cos22x = 2.

Bài 4. Giải phương trình: sin2x – 2sin2x = 2cos2x.

Bài 5. Giải phương trình: 2sin2x + 33sinx.cosx – cos2x = 4.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm
• Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm
• Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
• Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
• Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx
• Phương trình lượng giác đưa về dạng tích
• Phương trình lượng giác không mẫu mực
• Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
• Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm tầm thường khi nào?

Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

Tính thuần nhất là gì?

Tính từ Chỉ toàn một loại, không pha tạp.

He Cramer có nghiệm duy nhất khi nào?

Nếu định thức của ma trận hệ số khác 0, tức là ma trận đó là một ma trận Cramer, hệ phương trình sẽ có nghiệm duy nhất.

Tại sao gọi là phương trình tuyến tính?

Phương trình bậc một được gọi là phương trình tuyến tính vì đồ thị của phương trình này (xem hình bên) là đường thẳng (theo Hán-Việt, tuyến nghĩa là thẳng).