Cho \[ABC\] vuông tại A, M là trung điểm của AC. Vẽ MD vuông góc với cạnh huyền \[BC\; [D BC]\]. Chứng minh : \[A{B^2} = B{D^2} - C{D^2}\]
Đề bài
Cho \[ABC\] vuông tại A, M là trung điểm của AC. Vẽ MD vuông góc với cạnh huyền \[BC\; [D BC]\]. Chứng minh : \[A{B^2} = B{D^2} - C{D^2}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng: Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] ta có: \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\][Định lí Pitago].
Lời giải chi tiết
Nối BM. Xét tam giác BDM vuông ta có:
\[B{D^2} = B{M^2} - M{D^2}\] [định lí Pi-ta-go]
Xét tam giác CDM có \[D{C^2} = M{C^2} - M{D^2}\] [định lý Pi-ta-go]
\[ \Rightarrow B{D^2} - D{C^2} = B{M^2} - M{C^2}\] [1]
Xét tam giác vuông BAM ta có:
\[A{B^2} = B{M^2} - A{M^2}\] [2] [định lí Pi-ta-go]
Lại có \[MA = MC\] [ vì M là trung điểm của AC]
\[ \Rightarrow B{D^2} - D{C^2} = A{B^2}\] [đpcm]