- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
Đề bài
Bài 1. Rút gọn :\[A = {{a + b} \over {{{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}}} - {2 \over {\sqrt {ab} }}:{\left[ {{1 \over {\sqrt a }} - {1 \over {\sqrt b }}} \right]^2}.\]
Bài 2. Tìm x, biết :\[\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \]\[\,- \sqrt {6 - 4\sqrt 2 } \,\,\,\,\,\left[ * \right]\]
Bài 3. Chứng minh rằng :\[\left| {a + b} \right| \le \sqrt {2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]} ,\] với mọi a và b.
LG bài 1
Phương pháp giải:
Quy đồng mẫu và rút gọn
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[a,b > 0\] và \[a b\].
Ta có:
\[\eqalign{ & A = {{a + b} \over {{{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}}} - {2 \over {\sqrt {ab} }}:{{{{\left[ {\sqrt b - \sqrt a } \right]}^2}} \over {ab}} \cr & = {{a + b} \over {{{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}}} - {2 \over {\sqrt {ab} }}.{{ab} \over {{{\left[ {\sqrt b - \sqrt a } \right]}^2}}} \cr & = {{a + b - 2\sqrt {ab} } \over {{{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}}} = {{{{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}} \over {{{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]}^2}}} = 1. \cr} \]
LG bài 2
Phương pháp giải:
Sử dụng\[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \]\[\,- \sqrt {6 - 4\sqrt 2 } \]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left[ {2 + \sqrt 2 } \right]}^2}} {\rm{ }}{\mkern 1mu} - \sqrt {{{\left[ {2 - \sqrt 2 } \right]}^2}} {\mkern 1mu} \]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = \left| {2 + \sqrt 2 } \right| - \left| {2 - \sqrt 2 } \right| \cr & \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = 2 + \sqrt 2 - \left[ {2 - \sqrt 2 } \right] \cr & \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = 2\sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x - 1 = 2\sqrt 2 } \cr {x - 1 = - 2\sqrt 2 } \cr } } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = 1 + 2\sqrt 2 } \cr {x = 1 - 2\sqrt 2 } \cr } } \right. \cr} \]
LG bài 3
Phương pháp giải:
Bình phương 2 vế rồi biến đổi
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{ & \left| {a + b} \right| \le \sqrt {2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]} \cr & \Leftrightarrow {\left[ {a + b} \right]^2} \le 2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right] \cr & \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \le 2{a^2} + 2{b^2} \cr & \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {\left[ {a - b} \right]^2} \ge 0 \cr} \]
Luôn đúng với mọi a và b thuộc \[\mathbb R\].
Suy ra \[\left| {a + b} \right| \le \sqrt {2\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]}\] đúngvới mọi a và b thuộc \[\mathbb R\].