Đề bài
Tính diện tích phần gạch sọc trên hình sau [theo kích thước đã cho trên hình]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong tam giác vuông, bình phương cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với \[\sin\] góc đối hoặc \[\cos\] góc kề.
+] Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với chiều cao.
+] Diện tích hình quạt tròn bán kính \[R,\] cung \[n^\circ\] được tính theo công thức: \[S=\dfrac{\pi R^2n}{360}.\]
Lời giải chi tiết
Diện tích phần gạch sọc là hiệu giữa diện tích hình thang \[ABCD\] và diện tích hình quạt tròn có góc ở tâm \[30^0\]của đường tròn bán kính bằng a.
Từ \[D\] kẻ \[DH \bot BC\], suy ra \[ADHB\] là hình chữ nhật.
Trong tam giác vuông \[HDC\] có \[\widehat {DHC} = {90^0}\]
\[DH = DC.\sin \widehat{C} = a.\sin {30^0} = \displaystyle{a \over 2}\]
\[CH = DC.\cos\widehat C = a.\cos{30^0} =\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
\[BH = BC - HC = \displaystyle a - {{a\sqrt 3 } \over 2} \]\[= \displaystyle{{a\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \over 2}\]
\[ \Rightarrow AD =BH= \displaystyle{{a\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \over 2}\] [do\[ADHB\] là hình chữ nhật]
Diện tích của hình thang \[ABCD\] bằng:
\[\displaystyle{{AD + BC} \over 2}.DH \]\[=\displaystyle{{\displaystyle{{a\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \over 2} + a} \over 2}.{a \over 2}\]
\[ = \displaystyle {{{a^2}\left[ {4 - \sqrt 3 } \right]} \over 8}\]
Diện tích hình quạt tròn bằng: \[\displaystyle{{\pi .{a^2}.30} \over {360}} = {{\pi {a^2}} \over {12}}\]
Diện tích phần gạch sọc:
\[S = \displaystyle{{{a^2}\left[ {4 - \sqrt 3 } \right]} \over 8} - {{\pi a} \over {12}}\]
\[ = \displaystyle{{3{a^2}\left[ {4 - \sqrt 3 } \right] - 2\pi {a^2}} \over {24}}\]
\[ = \displaystyle{{{a^2}} \over {24}}\left[ {12 - 3\sqrt 3 - 2\pi } \right]\]