- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG f
- LG g
Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \[\displaystyle n \to + \infty \]
LG a
\[\displaystyle {a_n} = {{2n - 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}\]
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu của các phân thức cho lũy thừa bậc ca nhất của \[n\] rồi sử dụng dãy số có giới hạn \[0\].
Lời giải chi tiết:
\[\lim {a_n} = \lim \dfrac{{2n - 3{n^3} + 1}}{{{n^3} + {n^2}}}\] \[ = \lim \dfrac{{{n^3}\left[ {\dfrac{2}{{{n^2}}} - 3 + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right]}}{{{n^3}\left[ {1 + \dfrac{1}{n}} \right]}}\] \[ = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{{{n^2}}} - 3 + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}}\] \[ = \dfrac{{0 - 3 + 0}}{{1 + 0}} = \dfrac{{ - 3}}{1} = - 3\]
LG b
\[\displaystyle {b_n} = {{3{n^3} - 5n + 1} \over {{n^2} + 4}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\lim {b_n} = \lim \dfrac{{3{n^3} - 5n + 1}}{{{n^2} + 4}}\] \[ = \lim \dfrac{{{n^3}\left[ {3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right]}}{{{n^3}\left[ {\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}} \right]}}\] \[ = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}{{\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}}}\] \[ = + \infty \]
[vì \[\lim \left[ {3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right] = 3 > 0\] và \[\lim \left[ {\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}} \right] = 0\]]
LG c
\[\displaystyle {c_n} = {{2n\sqrt n } \over {{n^2} + 2n - 1}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\lim {c_n} = \lim \dfrac{{2n\sqrt n }}{{{n^2} + 2n - 1}}\] \[ = \lim \dfrac{{2{n^2}.\dfrac{1}{{\sqrt n }}}}{{{n^2}\left[ {1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right]}}\] \[ = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{{\sqrt n }}}}{{1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}\] \[ = \dfrac{0}{{1 + 0 - 0}} = 0\]
LG d
\[\displaystyle {u_n} = {2^n} + {1 \over n}\]
Lời giải chi tiết:
\[\lim {u_n} = \lim \left[ {{2^n} + \dfrac{1}{n}} \right]\] \[ = \lim {2^n} + \lim \dfrac{1}{n} = + \infty \]
[Vì \[\lim {2^n} = + \infty ,\lim \dfrac{1}{n} = 0\]]
LG e
\[\displaystyle {v_n} = {\left[ { - {{\sqrt 2 } \over \pi }} \right]^n} + {{{3^n}} \over {{4^n}}}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng giới hạn: \[\lim {q^n} = 0\] khi \[\left| q \right| < 1\]
Lời giải chi tiết:
\[\lim {v_n} = \lim \left[ {{{\left[ { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right]}^n} + \dfrac{{{3^n}}}{{{4^n}}}} \right]\] \[ = \lim {\left[ { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right]^n} + \lim {\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]^n}\] \[ = 0 + 0 = 0\].
[vì \[\left| { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right| < 1\] và \[\dfrac{3}{4} < 1\] nên \[\lim {\left[ { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right]^n} = \lim {\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]^n} = 0\]]
LG f
\[\displaystyle {u_n} = {{{3^n} - {4^n} + 1} \over {{{2.4}^n} + {2^n}}}\]
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \[4^n\] và sử dụng giới hạn\[\lim {q^n} = 0\] khi \[\left| q \right| < 1\]
Lời giải chi tiết:
\[\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{{2.4}^n} + {2^n}}}\] \[ = \lim \dfrac{{{{\left[ {\dfrac{3}{4}} \right]}^n} - 1 + \dfrac{1}{{{4^n}}}}}{{2 + {{\left[ {\dfrac{2}{4}} \right]}^n}}}\] \[ = \dfrac{{0 - 1 + 0}}{{2 + 0}} = - \dfrac{1}{2}\]
LG g
\[\displaystyle {v_n} = {{\sqrt {{n^2} + n - 1} - \sqrt {4{n^2} - 2} } \over {n + 3}}\]
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \[n\] suy ra giới hạn.
Lời giải chi tiết:
\[\lim {v_n}\] \[ = \lim \dfrac{{\sqrt {{n^2} + n - 1} - \sqrt {4{n^2} - 2} }}{{n + 3}}\] \[ = \lim \dfrac{{n\sqrt {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} - n\sqrt {4 - \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}{{n\left[ {1 + \dfrac{3}{n}} \right]}}\] \[ = \lim \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {4 - \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}{{1 + \dfrac{3}{n}}}\] \[ = \dfrac{{1 - 2}}{1} = - 1\].