Đề bài
Cho tứ diện \[ABCD\]. Tìm vị trí điểm \[M\] trong không gian sao cho: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\]đạt giá trị cực tiểu.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất:
Cho \[I\] là trung điểm đoạn thẳng \[AB\]. Với điểm \[M\] bất kì ta luôn có:
\[MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{1}{2}AB^2\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[\displaystyle E, F\] lần lượt là trung điểm của \[\displaystyle AB\] và \[\displaystyle CD\]. Ta có:
\[\begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2}\\
= {\left[ {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EA} } \right]^2} + {\left[ {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right]^2}\\
= {\overrightarrow {ME} ^2} + 2\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {EA} + {\overrightarrow {EA} ^2}\\
+ {\overrightarrow {ME} ^2} + 2\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {EB} + {\overrightarrow {EB} ^2}\\
= 2M{E^2} + 2\overrightarrow {ME} \left[ {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right] + E{A^2} + E{B^2}\\
= 2M{E^2} + 0 + \frac{1}{4}A{B^2} + \frac{1}{4}A{B^2}\\
= 2M{E^2} + \frac{1}{2}A{B^2}
\end{array}\]
Do đó, \[\displaystyle M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + {1 \over 2}A{B^2}\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
\[\displaystyle M{C^2} + M{D^2} = 2M{F^2} + {1 \over 2}C{{\rm{D}}^2}\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Cộng [1]và [2]ta có:
\[\displaystyle M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\]
\[\displaystyle = 2\left[ {M{E^2} + M{F^2}} \right] + {1 \over 2}\left[ {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\,\,} \right]\,\,\]
Gọi \[\displaystyle J\] là trung điểm của \[\displaystyle EF\], ta có:
\[\displaystyle \left[ {M{E^2} + M{F^2}} \right] = 2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}\]
Khi đó:
\[\displaystyle \eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2} \cr
& = 2\left[ {2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}} \right] + {1 \over 2}\left[ {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right] \cr
& = 4M{J^2} + E{F^2} + \frac{1}{2}\left[ {A{B^2} + C{D^2}} \right]\cr &\ge E{F^2} + {1 \over 2}\left[ {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right] \cr} \]
Vậy \[\displaystyle M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\]đạt giá trị nhỏ nhất khi \[MJ = 0\] hay \[\displaystyle M \equiv J\].