Đề bài
\[A, B, C\] là ba điểm thuộc đường tròn \[[O]\] sao cho tiếp tuyến tại \[A\] cắt tia \[BC\] tại \[D.\] Tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] cắt đường tròn ở \[M,\] tia phân giác của \[\widehat D\] cắt \[AM\] ở \[I.\] Chứng minh \[DI \bot AM.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+] Nếu \[C\] là một điểm trên cung \[AB\] thì: \[sđ\overparen{AB}=sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB}.\]
+] Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
+] Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với góc ở đỉnh cũng là đường cao.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\][vì \[AM\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]]
\[ \Rightarrow \overparen{BM} =\] \[\overparen{CM}\]\[ [1]\]
Ta có: \[\widehat {DAM} = \displaystyle{1 \over 2}sđ \overparen{ACM}\] [góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung]
Hay \[\widehat {DAM} = \displaystyle{1 \over 2} [sđ \overparen{AC} + sđ \overparen{CM}\] ]\[[2]\]
Gọi \[N\] là giao điểm của \[AM\] và \[BC.\]
Ta có: \[\widehat {ANC}\] là góc có đỉnh ở trong đường tròn \[[O].\]
\[ \Rightarrow \] \[\widehat {ANC} = \displaystyle{1 \over 2} [sđ \overparen{AC} + sđ \overparen{BM}]\]\[[3]\]
Từ \[[1],\] \[[2]\] và \[[3]\] suy ra: \[\widehat {DAM} = \widehat {ANC}\] hay \[\widehat {DAN} = \widehat {AND}\]
Suy ra: \[DAN\] cân tại \[D\] có \[DI\] là tia phân giác nên suy ra \[DI\] là đường cao
\[ \Rightarrow \] \[DI \bot AN\] hay \[DI \bot AM\]