Dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong vector

Ba điểm A, B, C được gọi là thẳng hàng nếu chúng cùng nằm trên một đường thẳng hay có một đường thẳng đi qua 3 điểm này. Từ cơ sở này chúng ta sẽ đưa bài toán trên về việc chứng minh 2 vectơ cùng phương.

Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Cho 3 điểm A, B, C 3 điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ $ \displaystyle \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ hoặc $ \displaystyle \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BC}$ hoặc $ \displaystyle \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{BC}$ … với k là hệ số bất kì. Các em nên xem qua ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn về phương pháp.

Bài tập ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ

Tin tức - Tags: vectơ

• 50 câu trắc nghiệm lượng giác lớp 10 có đáp án### Cách giải phương trình bậc 4 dạng tổng quát### Phương pháp giải dạng toán: Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai### Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến và cách giải### 5 bí quyết làm bài thi môn Ngữ Văn đạt điểm cao### Phương pháp viết bài văn miêu tả lớp 6### Các kĩ năng cần thiết để viết bài tập làm văn hay

  + Để chứng minh ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ cùng phương, tức là tồn tại số thực $k$ sao cho: $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .$

  + Để chứng minh đường thẳng $AB$ đi qua điểm cố định ta đi chứng minh ba điểm $A$, $B$, $H$ thẳng hàng với $H$ là một điểm cố định.

  2. Ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

  Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt $A$, $B.$ Chứng minh rằng $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi có hai số thực $\alpha $, $\beta $ có tổng bằng $1$ sao cho: $\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} .$

  Nếu $A$, $B$, $M$ thẳng hàng $ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {OQ} + \overrightarrow {ON} $ $ = (k + 1)(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OR} )$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {O{O_2}} = (k + 1)\overrightarrow {O{O_1}} .$

  Lên lớp 10 các em được học các quy tắc về vectơ, và vectơ tỏ ra khá hữu dụng để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

  Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

  Trong vectơ, 3 điểm

  thẳng hàng ⇔

  k
  R.

  Sử dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

  Chứng minh:

  k

  R bằng cách

  – Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.

  – Xác định vectơ

  và
  thông qua các tổ hợp trung gian.

  * Chú ý:

  – Cho ba điểm

  . Điều kiện cần và đủ để

  thẳng hàng là:

  –

  Với điểm

  tùy ý và số thực
  bất kì.

  Đặc biệt khi

  thì
  thuộc đoạn
  .

  Ứng dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

  Bài toán 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số

  . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.

  Giải

  Ta có:

  (1)

  Theo giả thiết, ta suy ra:

  Từ đây ta có:

  (2)

  Từ (1) và (2) suy ra:

  Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.

  Bài toán 2: Cho

  ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của
  ABC. CMR O, G, H thẳng hàng.

  Giải

  Ta có:

  (1)

  Gọi E là trung điểm BC và

  là điểm đối xứng với A qua O, ta được:
  là hình bình hành
  , E, H thẳng hàng

  Ta có:

  (2)

  Từ (1) và (2) suy ra:

  thẳng hàng.

  Bài toán 3: Cho ba dây cung song song

  của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác
  nằm trên một đường thẳng.

  Giải

  Gọi

  lần lượt là trực tâm của các tam giác

  Ta có:

  Suy ra:

  Vì các dây cung

  song song với nhau

  Nên ba vectơ

  có cùng phương

  Do đó hai vectơ

  cùng phương hay ba điểm
  thẳng hàng.

  Bài tập

  Bài 1: Cho

  ABC. Đường tròn nội tiếp
  ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng.

  Bài 2: Cho

  ABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Các đường thẳng
  đôi một song song nhau lần lượt qua các điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai với đường tròn (O) theo thứ tự là
  . Chứng minh trực tâm của ba tam giác
  thẳng hàng.

  Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thảng hàng và K là trung điểm của EF.

  Bài 4: Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.