Bài tập về góc lượng giác lớp 10
Các dạng toán bài Giá trị góc lượng giác từ 00 đến 1800 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới. DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc • Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt • Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
Lời giải
* $\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha $ * $cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $ Ta có: $A = 2\sin ({180^0} – \alpha ) + \sin \alpha + cos({180^0} – \alpha ) + cos\alpha $ $ = 2\sin \alpha + \sin \alpha – cos\alpha + cos\alpha = 3\sin \alpha $
* $\tan \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \tan \alpha $ * $\cot \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \cot \alpha $ Ta có: $B = 5\tan ({180^0} – \alpha ) + 5\tan \alpha + 3\cot ({180^0} – \alpha ) + \cot \alpha $ $ = – 5\tan \alpha + 5\tan \alpha – 3\cot \alpha + \cot \alpha = – 2\cot \alpha $ Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
Lời giải
Bài 3. Đơn giản biểu thức sau:
Lời giải
* $\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha $ hay $\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right)$ * $cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $ hay $cos\alpha = – cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right)$ Ta có: $A = sin{100^ \circ } + sin{80^ \circ } + cos{16^ \circ } + cos{164^ \circ }$ $ = sin\left( {{{180} \circ } – {{80} \circ }} \right) + sin{80^ \circ } + cos{16^ \circ } + cos\left( {{{180} \circ } – {{16} \circ }} \right)$ $ = sin{80^ \circ } + sin{80^ \circ } + cos{16^ \circ } – cos{16^ \circ }$$ = 2sin{80^ \circ }$
* $\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha $ * $cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $ * $\cot \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \cot \alpha $ Ta có: $B = 2sin\left( {{{180} \circ } – \alpha } \right) \cdot cot\alpha + cos\left( {{{180} \circ } – \alpha } \right) \cdot tan\alpha \cdot cot\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$ $ = 2sin\alpha \cdot cot\alpha + cos\alpha \cdot tan\alpha \cdot cot\alpha $ $ = 2sin\alpha \cdot \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }} + cos\alpha $$ = 3cos\alpha $ Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
Lời giải
$cos17{7^ \circ } = – co\operatorname{s} ({180^0} – {177^0}) = – cos{3^0}$ $cos17{9^ \circ } = – co\operatorname{s} ({180^0} – {179^0}) = – cos{1^0}$ Nên $A = si{n^2}{3^ \circ } + co{s^2}{177^ \circ } + si{n^2}{1^ \circ } + co{s^2}{179^ \circ }$ $ = \left( {si{n^2}{3^ \circ } + co{s^2}{3^ \circ }} \right) + \left( {si{n^2}{1^ \circ } + co{s^2}{1^ \circ }} \right) = 1 + 1 = 2$
$cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $ Ta có: $B = \left( {cos{0^ \circ } + cos{{180} \circ }} \right) + \left( {cos{{20} \circ } + cos{{160} \circ }} \right) + \ldots + \left( {cos{{80} \circ } + cos{{100}^ \circ }} \right)$ $ = \left( {cos{0^ \circ } – cos{0^ \circ }} \right) + \left( {cos{{20} \circ } – cos{{20} \circ }} \right) + \ldots + \left( {cos{{80} \circ } – cos{{80} \circ }} \right) = 0$
$\cot ({90^0} – \alpha ) = \tan \alpha $ hay $\tan \alpha = \cot ({90^0} – \alpha )$ Ta có: $C = \left( {tan{5^ \circ }tan{{85} \circ }} \right)\left( {tan1{0 \circ }tan8{0^ \circ }} \right)….\left( {tan4{0^ \circ }tan5{0^ \circ }} \right).\tan {45^0}$ $ = \left( {tan{5^ \circ }cot(9{0^0} – {{85} \circ })} \right)\left( {tan{{10} \circ }cot(9{0^0} – {{80} \circ })} \right) \ldots \left( {tan{{40} \circ }cot(9{0^0} – {{50}^ \circ })} \right).\tan {45^0}$ $ = \left( {tan{5^ \circ }cot{5^ \circ }} \right)\left( {tan1{0^ \circ }cot1{0^ \circ }} \right) \ldots \left( {tan{{40} \circ }cot4{0 \circ }} \right).\tan {45^0} = 1.1…1.1 = 1$ ( Do$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$ ) DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc • Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt • Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản Bài 1. Cho $cos\alpha = – \frac{2}{3}$ và $sin\alpha > 0$. Tính giá trị lượng giác còn lại. Lời giải Ta có $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow si{n^2}\alpha = 1 – co{s^2}\alpha $ $ \Rightarrow sin\alpha = \sqrt {1 – co{s^2}\alpha } = \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$(Do $sin\alpha > 0$) $cot\alpha = \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }} = \frac{{ – \frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = – \frac{2}{{\sqrt 5 }}$ $tan\alpha cot\alpha = 1 \Rightarrow cot\alpha = \frac{1}{{tan\alpha }} = – \frac{{\sqrt 5 }}{2}$ Bài 2. Cho $sin\alpha = \frac{1}{3}$ với ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$. Tính giá trị lượng giác còn lại. Lời giải Vì ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$ nên $cos\alpha < 0$ Mặt khác $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha $ suy ra $cos\alpha = – \sqrt {1 – si{n^2}\alpha } = – \sqrt {1 – \frac{1}{9}} = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$ Do đó: $tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$ $tan\alpha cot\alpha = 1 \Rightarrow cot\alpha = \frac{1}{{tan\alpha }} = – 2\sqrt 2 $ Bài 3. Cho $tan\alpha = – 2\sqrt 2 $. Tính giá trị lượng giác còn lại. Lời giải Ta có $tan\alpha cot\alpha = 1 \Rightarrow cot\alpha = \frac{1}{{tan\alpha }} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$ Vì $tan\alpha = – 2\sqrt 2 < 0 \Rightarrow cos\alpha < 0$ mặt khác $ta{n^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}$ Nên $cos\alpha = – \sqrt {\frac{1}{{ta{n^2} + 1}}} = – \sqrt {\frac{1}{{8 + 1}}} = – \frac{1}{3}$ Ta có $tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} \Rightarrow sin\alpha = tan\alpha \cdot cos\alpha = – 2\sqrt 2 \cdot \left( { – \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$ Bài 4. Cho $cos\alpha = \frac{3}{4}$ với ${0^ \circ } < \alpha < {90^ \circ }$. Tính $A = \frac{{tan\alpha + 3cot\alpha }}{{tan\alpha + cot\alpha }}$. Lời giải Ta có $A = \frac{{tan\alpha + 3\frac{1}{{tan\alpha }}}}{{tan\alpha + \frac{1}{{tan\alpha }}}} = \frac{{ta{n^2}\alpha + 3}}{{ta{n^2}\alpha + 1}} = \frac{{\frac{1}{{co{s^2}\alpha }} + 2}}{{\frac{1}{{co{s^2}\alpha }}}} = 1 + 2co{s^2}\alpha $ Suy ra $A = 1 + 2 \cdot \frac{9}{{16}} = \frac{{17}}{8}$ Bài 5. Cho góc $\alpha \left( {{0^ \circ } < \alpha < {{180}^ \circ }} \right)$ thỏa mãn $tan\alpha = 3$. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{2sin\alpha – 3cos\alpha }}{{3sin\alpha + 2cos\alpha }}$. Lời giải Ta có $tan\alpha = 3 \Rightarrow cos\alpha \ne 0$ nên chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $cos\alpha $ ta được $P = \frac{{2sin\alpha – 3cos\alpha }}{{3sin\alpha + 2cos\alpha }} = \frac{{2tan\alpha – 3}}{{3tan\alpha + 2}} = \frac{3}{{11}}.$ Bài 6. Cho $tan\alpha = \sqrt 2 $. Tính $B = \frac{{sin\alpha – cos\alpha }}{{si{n^3}\alpha + 3co{s^3}\alpha + 2sin\alpha }}$ Lời giải Ta có $tan\alpha = 3 \Rightarrow cos\alpha \ne 0$ nên chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $co{s^3}\alpha $ ta $B = \frac{{\frac{{sin\alpha }}{{co{s^3}\alpha }} – \frac{{cos\alpha }}{{co{s^3}\alpha }}}}{{\frac{{si{n^3}\alpha }}{{co{s^3}\alpha }} + \frac{{3co{s^3}\alpha }}{{co{s^3}\alpha }} + \frac{{2sin\alpha }}{{co{s^3}\alpha }}}}$ $ = \frac{{tan\alpha \left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right) – \left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right)}}{{ta{n^3}\alpha + 3 + 2tan\alpha \left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right)}}$ Suy ra $B = \frac{{\sqrt 2 \left( {2 + 1} \right) – \left( {2 + 1} \right)}}{{2\sqrt 2 + 3 + 2\sqrt 2 \left( {2 + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}}{{3 + 8\sqrt 2 }}$. Bài 7. Biết $sinx + cosx = m$
Lời giải
Mặt khác $sinx + cosx = m$ nên ${m^2} = 1 + 2sin\alpha cos\alpha $ hay $sin\alpha cos\alpha = \frac{{{m^2} – 1}}{2}$ Đặt $A = \left| {si{n^4}x – co{s^4}x} \right|$. Ta có $A = \left| {\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right)\left( {si{n^2}x – co{s^2}x} \right)} \right| = \left| {\left( {sinx + cosx} \right)\left( {sinx – cosx} \right)} \right|$ $ \Rightarrow {A^2} = {(sinx + cosx)^2}{(sinx – cosx)^2} = \left( {1 + 2sinxcosx} \right)\left( {1 – 2sinxcosx} \right)$ $ \Rightarrow {A^2} = \left( {1 + \frac{{{m^2} – 1}}{2}} \right)\left( {1 – \frac{{{m^2} – 1}}{2}} \right) = \frac{{3 + 2{m^2} – {m^4}}}{4}$. Vậy $A = \frac{{\sqrt {3 + 2{m^2} – {m^4}} }}{2}$
Kết hợp với (*) suy ra ${(sinx + cosx)^2} \leqslant 2 \Rightarrow \left| {sinx + cosx} \right| \leqslant \sqrt 2 $ DẠNG 3: RÚT GỌN ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC-CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1. Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) $A = sin\left( {{{90} \circ } – x} \right) + cos\left( {{{180} \circ } – x} \right) + si{n^2}x\left( {1 + ta{n^2}x} \right) – ta{n^2}x$ Lời giải $A = sin\left( {{{90} \circ } – x} \right) + cos\left( {{{180} \circ } – x} \right) + si{n^2}x\left( {1 + ta{n^2}x} \right) – ta{n^2}x$ $ = cosx – cosx + si{n^2}x \cdot \frac{1}{{co{s^2}x}} – ta{n^2}x = 0$ Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) $B = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{1}{{1 + cosx}} + \frac{1}{{1 – cosx}}} – \sqrt 2 $ Lời giải $B = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{{1 – cosx + 1 + cosx}}{{\left( {1 – cosx} \right)\left( {1 + cosx} \right)}}} – \sqrt 2 $ $ = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{2}{{1 – co{s^2}x}}} – \sqrt 2 = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{2}{{si{n^2}x}}} – \sqrt 2 $ $ = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{si{n^2}x}} – 1} \right) = \sqrt 2 co{t^2}x$ Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
Lời giải
$\begin{array}{*{20}{r}} {}&{\; = {{\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right)}^2} – 2si{n^2}xco{s^2}x} \\ {}&{\; = 1 – 2si{n^2}xco{s^2}x} \end{array}$
$ = ta{n^3}x + ta{n^2}x + tanx + 1$ Bài 4. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x$.
Lời giải
$A = ta{n^2}x\left( {si{n^2}x – 1} \right) + si{n^2}x$ $ = \frac{{si{n^2}x}}{{co{s^2}x}}\left( { – co{s^2}x} \right) + si{n^2}x = 0$ Vậy $A$ không phụ thuộc vào $x$.
$B = \sqrt {{{\left( {1 – co{s^2}x} \right)}^2} + 6co{s^2}x + 3co{s^4}x} + \sqrt {{{\left( {1 – si{n^2}x} \right)}^2} + 6si{n^2}x + 3si{n^4}x} $ $ = \sqrt {4co{s^4}x + 4co{s^2}x + 1} + \sqrt {4si{n^4}x + 4si{n^2}x + 1} $ $ = \sqrt {{{\left( {2co{s^2}x + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2si{n^2}x + 1} \right)}^2}} $ $ = 2co{s^2}x + 1 + 2si{n^2}x + 1 = 3$ Vậy $B$ không phụ thuộc vào $x$. Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh $\frac{{si{n^3}\frac{B}{2}}}{{cos\left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}} + \frac{{co{s^3}\frac{B}{2}}}{{sin\left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}} – \frac{{cos\left( {A + C} \right)}}{{sinB}} \cdot tanB = 2$ Lời giải Vì $A + B + C = {180^ \circ }$ nên $VT = \frac{{si{n^3}\frac{B}{2}}}{{cos\left( {\frac{{{{180}0} – B}}{2}} \right)}} + \frac{{co{s^3}\frac{B}{2}}}{{sin\left( {\frac{{{{180} \circ } – B}}{2}} \right)}} – \frac{{cos\left( {{{180}^ \circ } – B} \right)}}{{sinB}} \cdot tanB$ $ = \frac{{si{n^3}\frac{B}{2}}}{{sin\frac{B}{2}}} + \frac{{co{s^3}\frac{B}{2}}}{{cos\frac{B}{2}}} – \frac{{ – cosB}}{{sinB}} \cdot tanB = si{n^2}\frac{B}{2} + co{s^2}\frac{B}{2} + 1 = 2 = VP$ |