Bài tập Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm
Bạn đang xem: Tìm cơ sở và số chiều #2hoangcuong12a3hoangcuong12a3 Hạ sĩ Thành viên70 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Dục Tú - Đông Anh - Hà NộiSố chiều của hệ vecto là số vecto độc lập tuyến tính lấy ra được từ hệ vecto đó và nó = hạng của ma trận A là ma trận có các cột ( hàng) là tọa độ lần lượt của các vecto.. ta có A = $\begin{pmatrix} 1 & 1& -4&-3\\ 2 & 0& 2&-2\\ 2& -1& 3&2 \end{pmatrix}$ ..........$\begin{pmatrix} 1 & 1& -4&-3\\ 0 & -2& 10&4\\ 0& 0& -8&4 \end{pmatrix}$=> rank(A) = 3 => số chiều = 3.. và cơ sở của hệ véc to đó là 3 vecto đó luônXem thêm: Cách Vận Chuyển Chó Mèo Bằng Xe Khách Cần Lưu Ý Gì, Vận Chuyển Chó Mèo Bằng Xe Khách Cần Lưu Ý Gì #3vo van ducvo van duc Thiếu úy Điều hành viên Đại học565 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCMXem thêm: Các Tuyến Xe Khách Sài Gòn Hà Nội, Sai Gon To Ha Noi Bus Tickets Bài toán cơ bản:Trong không gian $\mathbb{R}^{n}$, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $U=Sp(v_{1},v_{2},..,v_{m})$Cách giải:Bước 1: Lập ma trận $A=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2}\\ ...\\ v_{m} \end{pmatrix}$Bước 2: Biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận A về ma trận bậc thang có r hàng khác không.Bước 3: Kết luận Số chiều của U là rMột cơ sở của U là r hàng khác không trong ma trận bậc thang hay r véc tơ tương ứng trong $\left \{ v_{1},v_{2},..,v_{m} \right \}$............................................................................Bài toán tổng quát hơn là:Trong không gian véc tơ V, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $W=Sp(u_{1},u_{2},..,u_{m})$Cách giải:Vì mọi không gian véc tơ hữu hạn chiều (có số chiều bằng n) đều đẳng cấu với $R^{n}$ nên ta sẽ chuyển việc xét trong không gian V về xét trong không gian $R^{n}$ tương ứng.+ Để xét $P_{n}=\left \{ a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{n+1}=\left \{ (a_{0},a_{1},...,a_{n}):a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$+ Để xét $M_{2}(\mathbb{R})=\left \{ \bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ c & d \end{smallmatrix}\bigr):a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{4}=\left \{ (a,b,c,d):a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$Vậy: Trong không gian V để tìm một cơ sở và số chiều của $W=Sp(u_{1},u_{2},..,u_{m})$ ta chuyển sang tìm một cơ sở và số chiều của $U=Sp(v_{1},v_{2},..,v_{m})$ tương ứng trong $\mathbb{R}^{n}$. Tức là chuyển về bài toán cơ bản ở trênVí dụ 1:Trong $P_{2}=\left \{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,2} \right \}$, xác định một cơ sở và số chiều của$W=Sp(u_{1}=1+3x+2x^{2},u_{2}=2+6x+4x^{2},u_{3}=x+3x^{2})$Giải:Xét ma trận:$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & 6 & 4\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ 1+3x+2x^{2},x+3x^{2} \right \}$Và $dimW=2$Ví dụ 2:Trong $M_{2}(\mathbb{R})$, xác định một có sở và số chiều của không gian W sinh bởi hệ véc tơ $\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$ Giải:Ta có:$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -4 & -5 \end{pmatrix}$Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$Và $dimW=3$ Bạn đang xem: Tìm số chiều và cơ sở của không gian con Навигация по данной странице:
|