Với cách giải các dạng toán về Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải môn Toán lớp 12 Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải lớp 12. Mời các bạn đón xem:
Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải - Toán lớp 12
- LÝ THUYẾT.
Cho hàm số y = f [x] có đồ thị [C1] và y = g [x] có đồ thị [C2] .
Phương trình hoành độ giao điểm của [C1] và [C2] là f [x] = g [x].
Khi đó:
- Số giao điểm của [C1] và [C2] bằng với số nghiệm của phương trình [1] .
- Nghiệm x0 của phương trình [1] chính là hoành độ x0 của giao điểm.
- Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y = f [x].
- Điểm M [x0 ; y0] là giao điểm của [C1] và [C2].
- CÁC DẠNG TOÁN HAY GẶP VÀ CÁC KỸ NĂNG CẦN THIẾT.
Dạng 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị hàm số cho trước.
1. Phương pháp giải.
Cho 2 hàm số y=fx,y=gx có đồ thị lần lượt là [C] và [C’].
Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của [C] và [C’]: fx=gx
Bước 2: Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và toạ độ giao điểm.
Bước 3: Số nghiệm của [*] là số giao điểm của [C] và [C’]. Thay trở lại y=fx[y=g[x]], ta sẽ được toạ độ giao điểm.
2. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Biết rằng đường thẳng y=−2x+2 cắt đồ thị hàm số y=x3+x+2 tại điểm duy nhất có toạ độ x0;y0. Tìm y0.
- y0=4
- y0=0
- y0=2
- y0=-1.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
−2x+2=x3+x+2
⇔x3+3x=0⇔x=0→y=2
Chọn C.
Ví dụ 2. Biết rằng đồ thị hàm số y=2x+1x và đồ thị hàm số y=x2+x+1 cắt nhau tại hai điểm. Kí hiệu x1;y1, x2;y2 là toạ độ của hai điểm đó. Tìm y1+y2.
- y1+y2=4.
- y1+y2=6.
- y1+y2=0.
- y1+y2=2.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
Chọn A.
3. Bài tập tự luyện.
Câu 1. Cho hàm số y=x−2x2+1 có đồ thị [C]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- [C] không cắt trục hoành.
- [C] cắt trục hoành tại một điểm.
- [C] cắt trục hoành tại hai điểm.
- [C] cắt trục hoành tại ba điểm.
Câu 2. Biết rằng đồ thị hàm số y=x3−3x2+2x−1 cắt đồ thị hàm số y=x2−3x+1tại hai điểm phân biệt A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB,
- AB=3.
- AB=22.
- AB=2.
- AB=1.
Câu 3. Đồ thị hàm số y=−x4+2x2 có bao nhiêu điểm chung với trục hoành?
- 0
- 2
- 3
- 4
Câu 4. Tìm toạ độ giao điểm M của đồ thị hàm số y=x−20182x+1 với trục tung.
- M0;0
- M0;−2018
- M2018;0
- M2018;−2018.
Câu 5. Đường thẳng y=2x+2016 và đồ thị hàm số y=2x+1x−1 có tất cả bao nhiêu điểm chung?
- 0.
- 1
- 2.
- 3.
Câu 6. Gọi M,N là giao điểm của đường thẳng d:y=x+1 và đồ thị C:y=2x+4x−1. Tìm hoành độ trung điểm xI của đoạn thẳng MN.
- xI=52
- xI=2
- xI=1
- xI=−52
Câu 7. Tìm trên đồ thị hàm số y=−x3+3x+2[C] hai điểm A,B mà chúng đối xứng nhau qua điểm I−1;3.
- A−1;0 và B−1;6.
- A0;2 và B−2;4.
- A1;4 và B−3;2.
- Không tồn tại.
Câu 8. Tìm trên đồ thị hàm số y=−x33+x2+3x−113 hai điểm phân biệtA,B mà chúng đối xứng nhau qua trục tung.
- A3;−163 và B−3;−163.
- A3;−163 và B−3;163.
- A163;3 và B−163;3.
- Không tồn tại.
Câu 9. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số y=x+2x−1 sao cho khoảng cách từ M đến trục Oy bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox?
- 0
- 1
- 2
- 3.
Câu 10. Tìm trên đồ thị hàm số y=2x+1x−1 những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến trục hoành.
- M2;1, M4;3.
- M0;−1,M4;3
- M0;−1,M3;2
- M2;1,M3;2
Câu 11. Số giao điểm của đồ thị hàm số y=x3−x2 và đồ thị hàm số y=−x2+5x là
- 2
- 3
- 1
- .0
Câu 12. Số giao điểm của đồ thị hàm số y=−x2+3x và đồ thị hàm số y=x3−x2 là
- 1
- 0
- 2
- 3
Đáp án
Dạng 2. Tìm m để sự tương giao của các đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước.
1. Phương pháp giải.
BÀI TOÁN 1: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3.
Phương pháp 1: Bảng biến thiên [đồ thị hàm số].
+] Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng Fx,m=0 [phương trình ẩn x tham số m]
+] Cô lập m đưa phương trình về dạng m=fx
+] Lập BBT cho hàm số y=fx.
+] Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.
* Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên khi m độc lập với x.
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.
+] Lập phương trình hoành độ giao điểm Fx,m=0
+] Nhẩm nghiệm: [Khử tham số]. Giả sử x=x0 là 1 nghiệm của phương trình.
+] Phân tích:
Fx,m=0⇔x−x0.gx=0⇔x=x0gx=0
[là gx=0 là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m ].
+] Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2: gx=0.
Phương pháp 3: Cực trị.
* Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm.
* Quy tắc:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm Fx,m=0 [1]. Xét hàm số y=Fx,m.
- Để [1] có đúng 1 nghiệm thì đồ thị y=Fx,m cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. [2TH]
+ Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R ⇔ hàm số không có cực trị ⇔y'=0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔Δy'≤0
+ Hoặc hàm số có CĐ, CT và ycd.yct>0 [hình vẽ]
- Để [1] có đúng 3 nghiệm thì đồ thị y=Fx,m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu và ycd.yct