Hướng dẫn cách giải phương trình nguyên và bài tập

Trước giờ chúng ta thường giải phương trình nghiệm nguyên ằng những cách khác nhau như đưa về phương trình tích, đưa về tổng các bình phương,.. Nhưng theo mình thấy thì các phương pháp này vẫn còn mang không ít thì nhiều tính chất may rủi trong quá trình phân tích.Do đó hôm nay mình sẽ giới thiệu cho các bạn Phương phương pháp bổ trợ cũng nhu là cách hữu hiệu nhất để giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai,2 ẩn khi mọi cách giải khác đang đi vào ngõ cụt.

Phương pháp này có 5 bước cơ bản như sau

B1 Đưa phương trình hai ẩn của đề bài về phương trình bậc 2 có 1 ẩn chính và ẩn còn lại nằm trong hệ số của phương trình đó

B2 Lập dellta cho phương trình vừa đưa về

B3 Cho chọn điều kiện có nghiệm của phương trình [ tức là dellta lớn hơn hoặc bằng không] giải bất phương trình đó và chọn các nghiệm nguyên của phương trình, đó là nghiệm của ẩn phụ

B4 Thế nghiệm ẩn phụ vào phương trình để tìm ẩn chính

B5 kết luận nghiệm

Chỉ nói thì khó hiểu vô cùng nên chúng ta cần một ví dụ cho dễ hiểu nhé

Bài toán: giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}-xy+y^{2}=2x-3y-2$ [1]

giải: Ta có $[1] \Leftrightarrow x^{2}-xy+y^{2}-2x+3y+2=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-[y+2]x+y^{2}+3y+2=0 [2]$

Coi [2] như một phương trình bậc 2 ẩn x ta có

$\Delta =[y+2]{2}-4[y{2}+3y+2]=-3y^{2}-8y-4$

Để phương trình có nghiệm thì:$\Delta \geq 0\Leftrightarrow -3y^{2}-8y-4\geq 0\Leftrightarrow 3y^{2}+8y+4$

Giải bất phương trình này ta được nghiệm là $-2\leq y\leq \frac{-2}{3}$,trong đó có 2 nghiệm nguyên là y=-2 và y=-1

Thay y vào [1] ta được tạp nghiệm của phương trình là $[x,y]=[0;-1],[-1;1],[0;-2]$

Từ nghiệm của cách này ta sẽ có cách tách các hạng tử trong các cách khác

• Khoipro999 yêu thích

Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

Fact but real

Đã gửi 16-07-2019 - 12:23

nguyendinhnguyentoan9

Hạ sĩ

• Thành viên
• 86 Bài viết

Đây là các bài tạp phương trình nghiệm nguyên mình thu thập được các bạn có thể sử dụng linh hoạt các cách để giải

Bài 1,$a,x^{2}+2y^{2}+3xy+3x+5y=15$

$b,x^{2}+y^{2}-13[x-y]=0$

$c,7[x^{2}+xy+y^{2}]=39[x+y]$

Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

Fact but real

Đã gửi 16-07-2019 - 22:03

Sin99

Thượng sĩ

• Thành viên
• 238 Bài viết

Mình đóng góp lg theo cách của bạn

B1 a]

$ x^2 + 2y^2 + 3xy +3x+5y = 15 $

$ \Leftrightarrow x^2 + 3[y+1]x + 2y^2 + 5y - 15 = 0 $

$ \Rightarrow \Delta = y^2 - 2y + 69 $. Để phương trình có nghiệm nguyên thì $ \Delta $ phải là số chính phương. Đặt $ y^2 - 2y + 69 = k^2 \Rightarrow [k + y - 1][k -y +1] = 68 $. Từ đó dễ tìm được $x,y \in Z $.

Đã gửi 16-07-2019 - 22:10

Sin99

Thượng sĩ

• Thành viên
• 238 Bài viết

Câu b] thì đánh giá $ x,y $ nhờ xét $ \Delta $ và giải bất phương trình, nhưng có cách nào thu hẹp $ y $ lại hơn không nhỉ

Đã gửi 16-07-2019 - 22:17

Sin99

Thượng sĩ

• Thành viên
• 238 Bài viết

Câu c] mình giải thế này. Ta có đánh giá $ x^2 + xy + y^2 = [x+y]^2 - xy \geq [x+y]^2 - \frac{[x+y]^2}{4} = \frac{3[x+y]^2}{4} $.

$ Pt \Leftrightarrow \frac{39}{7} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y} \geq \frac{3[x+y]^2}{4[x+y]} = \frac{3}{4}[x+y] \Rightarrow \frac{52}{7} \geq x+ y $. Do $ x,y \in Z , x +y > 0 $ nên $ 7 \geq x+y \geq 1 $. Từ đó thế x theo y để giải phương trình bậc 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 16-07-2019 - 22:17

Đã gửi 17-07-2019 - 12:28

nguyendinhnguyentoan9

Hạ sĩ

• Thành viên
• 86 Bài viết

  Câu b] thì đánh giá $ x,y $ nhờ xét $ \Delta $ và giải bất phương trình, nhưng có cách nào thu hẹp $ y $ lại hơn không nhỉ

Vậy bạn có thể nhân 4 toàn bộ lên đưa về tổng các bình phương rồi lập bản giá trị thì có thể nhanh hơn

Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

Fact but real

Đã gửi 17-07-2019 - 12:36

nguyendinhnguyentoan9

Hạ sĩ

• Thành viên
• 86 Bài viết

Ta tiếp tục với loạt câu hỏi thứ 2 nào

$a,5x^{2}+9y^{2}-12xy+28x-48y+68=0$

$b,x^{2}+2y^{2}-2xy+3x-3y+2=0$

$c,3[x^{2}+xy+y^{2}]=x+8y$

Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

Fact but real

Đã gửi 17-07-2019 - 15:49

Gammaths11

Hạ sĩ

• Thành viên
• 53 Bài viết

a,$5x^{2}+9y^{2}-12xy+28x-48y+68=0$

$\Leftrightarrow 5x^{2}+4x\left [7-3y \right ]+[9y^{2}+48y+68]=0$

$\Delta {'}\doteq 4[7-3y]{2}-5[9y^{2}-48y+68]=-[3y-12]^{2}\leq 0$

để pt có nghiệm $\Rightarrow \Delta ^{'}\doteq 0$

Đã gửi 17-07-2019 - 15:54

Gammaths11

Hạ sĩ

• Thành viên
• 53 Bài viết

b,$x^{2}+x[3-2y]+[2y^{2}-3y+2]$

$\Rightarrow \Delta =[3-2y]{2}-4[2y{2}-3y+2]= 1-4y^{2}$

để pt có nghiệm nguyên$\Delta$ phải là số chính phương$\Rightarrow 1-4y^{2}=k^{2}[k \epsilon\mathbb{N} ]\Leftrightarrow 1=4y^{2}+k^{2}=0+1\Rightarrow y=0$

• Khoipro999 yêu thích

Đã gửi 17-07-2019 - 16:03

Gammaths11

Hạ sĩ

• Thành viên
• 53 Bài viết

c,$3x^{2}+x[3y-1]+[3y^{2}-8]=0$

$\Rightarrow \Delta =[3y-1]{3}-12[3y{2}-8y]=-25y^{2}-90y+1$

để pt có nghiệm thì $\Delta \geq 0\Rightarrow 25y^{2}-90y-1\leq 0\Leftrightarrow [5y-9]^{2}\leq 82$

Đã gửi 18-07-2019 - 12:23

nguyendinhnguyentoan9

Hạ sĩ

• Thành viên
• 86 Bài viết

Bài 3 thẳng tiến

$a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$

$x^{2}-2y^{2}=5$

$c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$

Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

Fact but real

Đã gửi 18-07-2019 - 13:33

Khoipro999

Binh nhất

• Thành viên mới
• 23 Bài viết

b ] x^2 - 2y^2 = 5

x^2 = 2y^2 + 5 lẻ

\=> x lẻ

Đặt x = 2k + 1 [ k thuộc Z ] , ta có :

4k^2 + 4k + 1 = 2y^2 + 5

4k^2 + 4k - 4 - 2y^2 = 0

2k^2 + 2k - 2 - y^2 = 0

2[k^2+k-1] = y^2

Do VT chia hết cho 2 => VP = y^2 chia hết cho 2

Đặt y = 2m [ m thuộc Z ] , ta có :

2[k^2+k-1] = 4m^2

k^2 + k - 1 = 2m^2

k[k+1] = 2m^2 + 1 [1]

Do k , k + 1 là 2 số nguyên liên tiếp

\=> k[k+1] chia hết cho 2 [2]

2m^2 + 1 chia 2 dư 1 [3]

Từ [1] ; [2] ; [3] => PT vô nghiệm nguyên

Không có áp lực thì không có kim cương

Đã gửi 18-07-2019 - 14:02

Khoipro999

Binh nhất

• Thành viên mới
• 23 Bài viết

  Bài 3 thẳng tiến

$a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$

$x^{2}-2y^{2}=5$

$c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$

x^2y - 5x^2 - xy + y - 1 = 0

x^2[y-5] - xy + y - 1 = 0

$\Delta = y^2 - 4[y-5][y-1] = -3y^2 + 24y - 20$

Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta \geq 0$

$\Rightarrow$3y^2 - 24y + 20 \leq 0$

$\Leftrightarrow 3[y-4]^2 - 28 \leq 0$

$\Leftrightarrow [y-4]^2 \leq \frac{28}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoipro999: 18-07-2019 - 16:14

Không có áp lực thì không có kim cương

Đã gửi 18-07-2019 - 22:51

nguyendinhnguyentoan9

Hạ sĩ

• Thành viên
• 86 Bài viết

  b ] x^2 - 2y^2 = 5 x^2 = 2y^2 + 5 lẻ \=> x lẻ Đặt x = 2k + 1 [ k thuộc Z ] , ta có : 4k^2 + 4k + 1 = 2y^2 + 5 4k^2 + 4k - 4 - 2y^2 = 0 2k^2 + 2k - 2 - y^2 = 0 2[k^2+k-1] = y^2 Do VT chia hết cho 2 => VP = y^2 chia hết cho 2 Đặt y = 2m [ m thuộc Z ] , ta có : 2[k^2+k-1] = 4m^2 k^2 + k - 1 = 2m^2 k[k+1] = 2m^2 + 1 [1] Do k , k + 1 là 2 số nguyên liên tiếp \=> k[k+1] chia hết cho 2 [2] 2m^2 + 1 chia 2 dư 1 [3] Từ [1] ; [2] ; [3] => PT vô nghiệm nguyên

Nếu bạn dùng được latex thì dùng luôn đi bạn 😊😊

Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

Fact but real

Đã gửi 19-07-2019 - 14:24

nguyendinhnguyentoan9

Hạ sĩ

• Thành viên
• 86 Bài viết

Bài 4

$a,3^{y}=x^{2}-5x+7[x,y\epsilon N]$

$3^{y}=x^{2}+2x-7$

$c,x^{2}[x-y]=5[y-1]$

Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

Fact but real

Đã gửi 19-07-2019 - 14:33

nguyendinhnguyentoan9

Hạ sĩ

• Thành viên
• 86 Bài viết

  Bài 3 thẳng tiến

$a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$

$x^{2}-2y^{2}=5$

$c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$

Mình trả hướng dẫn bài a nhé

Thật ra bài này chẳng có gì to tác cả chỉ là mũ hơi to thôi,nếu đã như vậy ta nên đặt hai ẩn phụ như sau: $a=x^{2},b=y^{2}[a,b \epsilon Z^{+}]$