✪Đạo hàm theo định nghĩa : ●1 biến :$$f'[x_0] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f[x] - f[{x_0}]}}{{x - {x_0}}}$$ ●2 biến :$$f'_x[x_0;y_0] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f[x;y_0] - f[{x_0;y_0}]}}{{x - {x_0}}}\\ f'_y[x_0;y_0] = \mathop {\lim }\limits_{y \to {y_0}} \frac{{f[x_0;y] - f[{x_0;y_0}]}}{{y - {y_0}}}$$
✪Các công thức cần biết : $$\matrix{ du[x;y;z] = u'_xdx + u'_ydy + u'_zdz\\ d^2u[x;y] = u''_{xx}d^2x + u''_{xy}dxdy + u''_{yy}d^2y\\ \frac{{\partial z}}{{\partial x}} = z'_x; \frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = z''_{xx} }$$ ✪Các bước làm bài :
●Bước 1 :Tìm các đạo hàm riêng cần thiết theo công thức đạo hàm.
●Bước 2 :Tính giá trị các đạo hàm cần thiết tại điểm đề cho.
[Thay điểm đã cho vào đạo hàm tìm được ở bước 1 để tính. Nếu thay vào không tồn tại thì dùng định nghĩa để tính đạo hàm đó.]
●Bước 3 :Kết luận.
✪Ví dụ 1 :
Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số $u = {e^{\frac{1}{{{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}}}$ tại [1;-1;1].
[Bài 6-Đề 1-Giải tích I cuối kì BKHN-K59]
Bài làm: ● Ta có : $$\matrix{ u{'_x} = {e^{\frac{1}{{{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}}}.\frac{{ - 2x}}{{{{[{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}]}^2}}}\\ u{'_y} = {e^{\frac{1}{{{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}}}.\frac{{ - 4y}}{{{{[{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}]}^2}}}\\ u{'_z} = {e^{\frac{1}{{{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}}}.\frac{{ - 6z}}{{{{[{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}]}^2}}} }$$ ● Khi đó tại $x = 1$, $y = -1$, $z = 1$ ta có : $$\matrix{ u{'_x} = \frac{{ - 2{e^{\frac{1}{6}}}}}{{36}}\\ u{'_y} = \frac{{ 4{e^{\frac{1}{6}}}}}{{36}}\\ u{'_z} = \frac{{ - 6{e^{\frac{1}{6}}}}}{{36}} }$$
[Đề yêu cầu tính đạo hàm riêng cấp 1 nên đến đây là xong không cần kết luận thêm gì]
✪Ví dụ 2 :Cho $u = {x^{{y^z}}}$. Tính $du[2;1;3]$
[Bài 6-Đề 3-Giải tích I cuối kì BKHN-K59]
Bài làm: ● Ta có : $$\matrix{ u{'_x} = {y^z}{x^{{y^z} - 1}}\\ u{'_y} = z.{y^{z - 1}}.{x^{{y^z}}}\ln x\\ u{'_z} = {y^z}.{x^{{y^z}}}\ln x.\ln y }$$ ● Khi đó tại $x = 2$, $y = 1$, $z = 3$ ta có : $$\matrix{ u{'_x} = 2\\ u{'_y} = 6\ln 2\\ u{'_z} = 0 }$$ ● Vậy: $$du[2;1;3] = u{'_x}dx + u{'_y}dy + u{'_z}dz = 2dx + 6\ln 2dy + 0dz$$ ✪Ví dụ 3 :
Cho hàm số $z=z[x;y]$ xác định bởi phương trình:${x^3} + 2x{y^2} + 2yz + {z^3} = 2$. Tính : $\frac{{\partial z}}{{\partial x}}[1;0],\frac{{\partial z}}{{\partial y}}[1;0].$
[Bài 7-Đề 5-Giải tích I cuối kì BKHN-K59]
Bài làm: ● Ta có: _Đạo hàm cả 2 vế theo x :
[Coi x là biến, y là tham số, z là hàm chứa biến]
$$\matrix{ {\rm{3}}{{\rm{x}}^2} + 2{y^2} + 2y.z{'_x} + 3{z^2}.z{'_x} = 0\\ ⇒ z{'_x} = \frac{{{\rm{ - 3}}{{\rm{x}}^2} - 2{y^2}}}{{2y + 3{z^2}}} }$$ _Đạo hàm cả 2 vế theo y :[Coi y là biến, x là tham số, z là hàm chứa biến]
$$\matrix{ 4xy + 2z + 2y.z{'_y} + 3{z^2}.z{'_y} = 0\\ ⇒ z{'_y} = \frac{{ - 4xy - 2z}}{{2y + 3{z^2}}} }$$ ● Khi đó tại $x=1$, $y=0$ Suy ra $z=1$ Vậy : $$\matrix{ \frac{{\partial z}}{{\partial x}}[1;0] = z{'_x}[1;0] = - 1\\ \frac{{\partial z}}{{\partial y}}[1;0] = z{'_y}[1;0] = \frac{{ - 2}}{3} }$$ ✪Ví dụ 4 :Cho hàm số $f[x;y] = \sqrt[3]{{{x^3} - 2{y^3}}}$. Tính các đạo hàm riêng $\frac{{\partial f}}{{\partial x}}[0;0],\frac{{\partial f}}{{\partial y}}[0;0],\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}[0;0].$
[Bài 8-Đề 7-Giải tích I cuối kì BKHN-K59]
Bài làm: ● Với $[x;y]≠[0;0]$ ta có:
[Cần tìm hàm $f{'_x}$ để tính $f'{'_{xx}}$]
$$f{'_x} = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt[3]{{{{[{x^3} - 2{y^3}]}^2}}}}}$$ [Ta thấy với $x=0$, $y=0$ thì $f{'_x}$ vừa tính ở trên không xác định nên để tính $f{'_x}[0;0]$ ta phải dùng định nghĩa. Tương tự với $f{'_y}$ và $f''_{xx}$] ● Khi đó tại $x=0$, $y=0$ : $$\matrix{ f{'_x}[0;0] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f[x;0] - f[0;0]}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\\ f{'_y}[0;0] = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{f[0;y] - f[0;0]}}{{y - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sqrt[3]{2}.y}}{y} = \sqrt[3]{2}\\ f''_{xx}[0;0] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f{'_x}[x;0] - f{'_x}[0;0]}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - 1}}{x} = 0 }$$ ● Vậy : $$\matrix{ \frac{{\partial f}}{{\partial x}}[0;0] = f{'_x}[0;0] = 1\\ \frac{{\partial f}}{{\partial y}}[0;0] = f{'_y}[0;0] = \sqrt[3]{2}\\ \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}[0;0] = f''_{xx}[0;0] = 0 }$$
[Bài này phải dùng định nghĩa để tính các đạo hàm tại [0;0]. Vì nếu tính đạo hàm bằng công thức bình thường thì [0;0] không thỏa mãn điều kiện xác định các đạo hàm đó].
Có thể bạn quan tâm
Copyright : Theza
ღ Lưu ý: Mình chỉ sử dụng Fanpage Theza2 để bình luận. Mọi nick khác đều không phải mình.
Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..
Liên kết hay đáng ghe thăm:
HocTapHay.com:Tổng hợp kiến thức, bải giảng các môn học Trung học cơ sở, Trung học phổ thông,... khá đầy đủ và chi tiết.
Bước 1:Tại trang tài liệu thuvienmienphi bạn muốn tải, click vào nút Download màu xanh lá cây ở phía trên. Bước 2: Tại liên kết tải về, bạn chọn liên kết để tải File về máy tính. Tại đây sẽ có lựa chọn tải File được lưu trên thuvienmienphi Bước 3: Một thông báo xuất hiện ở phía cuối trình duyệt, hỏi bạn muốn lưu . - Nếu click vào Save, file sẽ được lưu về máy [Quá trình tải file nhanh hay chậm phụ thuộc vào đường truyền internet, dung lượng file bạn muốn tải]
Có nhiều phần mềm hỗ trợ việc download file về máy tính với tốc độ tải file nhanh như: Internet Download Manager [IDM], Free Download Manager, ... Tùy vào sở thích của từng người mà người dùng chọn lựa phần mềm hỗ trợ download cho máy tính của mình
HÌNH ẢNH DEMO
Chỉ xem 5 trang đầu, hãy download Miễn Phí về để xem toàn bộ
TrườngĐạihọcBáchkhoatp.HồChíMinhBộmônToánỨngdụng-------------------------------------------------------------------------------------GiảitíchhàmnhiềuiếnChương2:Đạohàmiêngvàviphân•Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh [2/2008]ộidung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.1–Đạohàmiêngvàviphâncủaf=f[x,y]0.2–Đạohàmiêngvàviphâncủahàmhợp0.3–Đạohàmiêngvàviphâncủahàmẩn0.4–Đạohàmtheohướng0.5–CôngthứcTaylor,Maclaurint0.6–Ứngdụngcủađạohàmiêng'Δx0limI.Đạohàmiêngvàviphâncủaf=f[x,y]---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Địnhnghĩađạohàmiêngtheox.Chohàmhaiiếnf=f[x,y]vớiđiểmM0[x0,y0] cốđịnh.XéthàmmộtiếnF[x]=f[x,y0]theoiếnx.Đạo hàm củacủa f[x,y] tạihàm một biến F[x] tạiM0[x0,y0], ký hiệux0 đượcgọilàđạohàmiêngtheoxf[x0,y0]x=fx[x0,y0] = lim F[x0+Δx]−F[x0]Δx= Δx0f[Δx0,y0]−Δxf[x0,y0]Nguồn: thuvienmienphi
Nội dung bậy bạ, spam tài khoản sẽ bị khóa vĩnh viễn, IP sẽ bị khóa.
Đánh giá[nếu muốn] Sao 1 Sao 2 Sao 3 Sao 4 Sao 5 Sao
BÌNH LUẬN
tài liệu hay bổ ích có ý nghĩa
tài liệu hay bổ ích có ý nghĩa
tài liệu hay và vô cùng bổ ích cho sv
tài liệu tốt, cần những tài liệu như thế này để tham khảo
5 Đánh giá
Tài liệu rất tốt [3]
Tài liệu tốt [2]
Tài liệu rất hay [0]
Tài liệu hay [0]
Bình thường [0]
dangdoanh999
10/4/2019 5:36:00 AM
bài tập rất hay mong ad ra thêm nhieu bài như này nữa
sangtran
5/17/2020 5:31:01 AM
nội dung hay rất bổ ích ạ
Nunkarry
7/12/2021 9:58:30 PM
phuc15102003
3/14/2022 7:29:00 PM
phuc15102003
3/14/2022 7:30:11 PM
rất hay và tuyệt vời bổ ích cám ơn thầy cô ạ