Bài 43 toán 9 tập 1 trang 128
Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO’. Show Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và \(B (R > r)\). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A).
Hướng dẫn làm bài:
\(MA = MC = {{AC} \over 2};\) \(NA = N{\rm{D}} = {{A{\rm{D}}} \over 2}\) Mặt khác, ta có \(OM ⊥ CD, IA ⊥ CD, O’N ⊥ CD\) \(⇒ OM // IA //O’N.\) Hình thang OMNO’ (OM //O’N) có \(IA // OM; IO = IO’\) nên \(MA = NA.\) Do vậy \(AC = AD\)
⇒ OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB \(⇒ IA = IB\) Mặt khác \(IA = IK\) ( vì K đối xứng với A qua I) Do đó: \(IA = IB = IK\) Ta có ∆KBA có BI là đường trung tuyến và \(BI = {{AK} \over 2}\) nên ∆KBA vuông tại B \(⇒ KB ⊥ AB\) Hướng dẫn giải Bài Ôn tập chương II – Đường tròn, sách giáo khoa toán 9 tập một. Nội dung bài giải bài 41 42 43 trang 128 sgk toán 9 tập 1 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần hình học có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9. Lý thuyếtCác định nghĩa1. Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R. 2. Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó. Các định lí1. a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
2. a) Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
3. Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. 4. Trong một đường tròn:
5. Trong một đường tròn:
6. a) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
7. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì:
8. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung. Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 41 42 43 trang 128 sgk toán 9 tập 1. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé! Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần hình học 9 kèm bài giải chi tiết bài 41 42 43 trang 128 sgk toán 9 tập 1 của bài Ôn tập chương II – Đường tròn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây: 1. Giải bài 41 trang 128 sgk Toán 9 tập 1Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $BC$, dây $AD$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Gọi $E, F$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB, AC$. Gọi $(I), (K)$ theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBE, HCF.$
Bài giải:
$⇒ IO = BO – BI$ Nên $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ Ta có: $OK + KC = OC$ $⇒ OK = OC – KC$ Nên $(K)$ tiếp xúc trong với $(O)$ Ta có: $IK = IH + HK$ Nên $(I)$ tiếp xúc ngoài với $(K)$
⇒ tam giác $ABC$ vuông (vì có trung tuyến $AO$ nửa cạnh huyền $BC$) Do đó $\widehat{A} = 90^0$ Ta lại có $\widehat{E} = \widehat{F} = 90^0$ (gt) Như vậy tứ giác $AEHF$ có ba góc vuông nên $AEHF$ là hình chữ nhật.
$⇒ AH^2 = AE.AB (1)$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) Tương tự tam giác vuông $AHC$ có $HF \perp AC (gt)$ $⇒ AH^2 = AF.AC (2)$ Từ (1) và (2) suy ra $AE.AB = AF.AC (đpcm)$
Gọi $G$ là giao điểm của $AH$ và $EF$ Xét tam giác $GEH$ có: $GE = GH$ (theo tính chất hình chữ nhật) Nên tam giác $GEH$ cân tại $G$ $⇒ \widehat{E_1} = \widehat{H_1} (1)$ Mặt khác tam giác $IEH$ có $IE = IH = r_{(I)}$ Nên tam giác $IEH$ cân tại $I$ $⇒ \widehat{E_2} = \widehat{H_2} (2)$ Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được $\widehat{E_1} + \widehat{E_2} = \widehat{H_1} + \widehat{H_2}$ ⇒ $\widehat{E} = \widehat{H} = 90^0$ Hay $EF \perp EI$ ⇒ $EF$ là tiếp tuyến của $(I)$ Chứng minh tương tự ta được $EF$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $(K)$ Vậy $EF$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(I)$ và $(K)$.
Mặt khác ta có $BC \perp AD (gt)$ $⇒ AH = HD = \frac{AD}{2}$ (định lí đường kính và dây) Do đó $AH$ lớn nhất khi $AD$ lớn nhất. Mà dây $AD$ lớn nhất khi $AD$ là đường kính. Khi đó $H$ sẽ trùng với $O.$ Vậy $EF$ lớn nhất khi $H$ là tâm của đường tròn $(O)$. 2. Giải bài 42 trang 128 sgk Toán 9 tập 1Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc ngoài tại $A, BC$ là tiếp tuyến chung ngoài, $B \in (O), C \in (O’)$. Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt $BC$ ở điểm $M$. Gọi $E$ là giao điểm của $OM$ và $AB, F$ là giao điểm của $O’M$ và $AC$. Chứng minh rằng:
Bài giải:
Tương tự ta có $MO’$ là phân giác $\widehat{CMA}$ Mà $\widehat{BMA}$ kề bù với $\widehat{CMA}$ Nên$ MO \perp MO’ ⇒ \widehat{OMO’} = 90^0 (1)$ Mặt khác ta có: $MB = MA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $OB = OA = R$ (bán kính đường tròn $O$) ⇒ $MO$ là đường trung trực của $AB$. Nghĩa là $MO \perp AB$ Suy ra $\widehat{MEA} = 90^0 (2)$ Chứng minh tương tự ta được $\widehat{MFA} = 90^0$ (3) Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác $AEMF$ là hình chữ nhật (có ba góc vuông).
Nên $MA^2 = ME.MO (3)$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) Tương tự tam giác vuông $MAO’$ có $AF \perp MO’$ Nên $MA^2 = MF.MO’ (4)$ Từ (3) và (4) suy ra $ME.MO = MF.MO’$
Nên $M$ là tâm đường tròn đường kính $BC$ với bán kính $MA$. Mà $OO’ \perp MA$ tại $A$ $⇒ OO’$ là tiếp tuyến của đường tròn $(M ; BC)$.
Ta có tam giác $OMO’$ vuông tại $M$ có $MI$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $OO’$. Nên $MI = \frac{OO’}{2}$. Do đó $M \in (I) (5)$ Ta có $\left.\begin{matrix} OB \perp BC \\ O’C \perp BC\end{matrix}\right\}$ $⇒ OB // O’C$ Do đó tứ giác $OBCO’$ là hình thang. Hình thang $OBCO’$ có $\left.\begin{matrix} MB = MC \\ IO = IO’\end{matrix}\right\}$ ⇒ $MI$ là đường trung bình của hình thang $OBCO’$. Do đó $MI // OB$ Mà $OB \perp BC ⇒ MI \perp BC (6)$ Từ (5) và (6) suy ra $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $OO’$. 3. Giải bài 43 trang 128 sgk Toán 9 tập 1Cho hai đường tròn $(O ; R)$ và $(O’ ; r)$ cắt nhau tại $A$ và $B (R > r)$. Gọi $I$ là trung điểm của $OO’$. Kẻ đường thẳng vuông góc với $IA$ tại $A$, đường thẳng này cắt các đường tròn $(O ; R)$ và $(O’ ; r)$ theo thứ tự tại $C$ và $D$ (khác $A$).
Bài giải:
Ta có $\left.\begin{matrix} OM \perp AC \\ O’N \perp AD\end{matrix}\right\}$ $⇒ OM // IA // O’N ⇒ OMNO’$ là hình thang. Xét hinh thang $OMNO’$ có: $IO = IO’ (gt)$ $OM // IA // O’N (cmt)$ Do đó $IA$ là đường trung bình của hình thang. $⇒AM = AN (1)$ Ta lại có $OM \perp AC$. Nên $AM = MC = \frac{AC}{2} (2)$ (định lí đường kính và dây) Chứng minh tương tự ta được $AN = ND = \frac{AD}{2} (3)$ Từ (1), (2), (3) suy ra $AC = AD (đpcm)$
Theo tính chất đường nối tâm ta có: $AB \perp OO’$ tại $H$ (4) và $HA = HB$. Xét tam giác $AKB$ có: $AH = HB (cmt)$ $AI = IK (gt)$ Do đó $IH$ là đường trung bình của tam giác $AKB$. $⇒ IH // KB$ hay $OO’ // KB$ (5) Từ (4) và (5) suy ra $KB \perp AB. (đpcm)$ Bài trước:
Xem thêm:
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 41 42 43 trang 128 sgk toán 9 tập 1! |