15/09/2021 1,854
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho Parabol [P]: y = x2 và đường thẳng [d]: y =mx + 4. Biết đường thẳng [d] luôn cắt đồ thị [P] tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x1; x2 là hoành độ của các điểm A, B. Tìm giá trị lớn nhất của Q=2x1+x2+7x12+x22
Xem đáp án » 15/09/2021 3,443
Cho phương trình: x2 – 2[m – 1]x + m2 − 3m = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x12 + x22 = 8
Xem đáp án » 15/09/2021 2,338
Cho parabol [P]: y = x2 và đường thẳng [d]: y = mx + 1. Gọi A [x1; y1] và B [x2; y2] là các giao điểm của [d] và [P]. Tìm m để biểu thức M = [y1 − 1][ y2 − 1] đạt giá trị lớn nhất.
Xem đáp án » 15/09/2021 1,712
Tìm m để phương trình 3x2 + 4[m – 1]x + m2 – 4m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 1x1+1x2=2x1+x2
Xem đáp án » 15/09/2021 1,491
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng [d]: 2x – y – a2 = 0 và parabol [P]: y = ax2 [a > 0]. Tìm a để [d] cắt [P] tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó có kết luận gì về vị trí của hai điểm A, B
Xem đáp án » 15/09/2021 1,367
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y = 2[m – 1]x – m – 1 cắt parabol [P]: y = x2 tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
Xem đáp án » 15/09/2021 1,228
Cho parabol [P]: y=14x2 và đường thẳng d: y=118x-32. Gọi A, B là các giao điểm của [P] và d. Tìm tọa độ điểm C trên trục tung cho CA + CB có giá trị nhỏ nhất.
Xem đáp án » 15/09/2021 1,145
Tìm phương trình đường thẳng [d] đi qua điểm I [0; 1] và cắt parabol [P]: y = x2 tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN = 210
Xem đáp án » 15/09/2021 959
Tìm tham số m để đường thẳng d: y = 2x + m và parabol [P]: y = 2x2 không có điểm chung
Xem đáp án » 15/09/2021 751
Tìm các giá trị của m để phương trình x2 – mx + m2 – m – 3 = 0 có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác ABC tại A biết độ dài cạnh huyền BC = 2
Xem đáp án » 15/09/2021 651
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng [d]: y = kx + 12 và parabol [P]: y=12x2. Giả sử đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm phân biệt A, B. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB luôn thỏa mãn phương trình nào dưới đây?
Xem đáp án » 15/09/2021 576
Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol [P]: y=14x2 và đường thẳng [d]: x – 2y + 12 = 0. Gọi giao điểm của [d] và [P] là A, B. Tìm tọa độ điểm C nằm trên [P] sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Xem đáp án » 15/09/2021 561
Cho phương trình: x2 – [m + 2]x + [2m – 1] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m là:
Xem đáp án » 15/09/2021 446
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol [P] có phương trình y=-x22. Gọi [d] là đường thẳng đi qua I [0; −2] và có hệ số góc k. Đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Khi đó tam giác IHK là tam giác?
Xem đáp án » 15/09/2021 408
Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36km trong thời gian đã định. Sau khi đi được nửa quãng đường, người đó dừng lại nghỉ 30 phút. Vì vậy mặc dù trên quãng đường còn lại đã tăng tốc thêm 2km/h song vẫn đến B chậm hơn dự kiến 12 phút. Vậy vận tốc của người đi xe đạp trên đoạn đường cuối của đoạn AB?
Xem đáp án » 15/09/2021 311
Lý thuyết về phương trình bậc hai cũng như cách giải phương trình bậc hai học sinh đã được tìm hiểu trong chương trình Toán 9, phân môn Đại số. Nhằm giúp các bạn học sinh nắm vững hơn các kiến thức cần ghi nhớ về chyên đề Toán 9 khá quan trọng này, THPT Sóc Trăng đã chía sẻ bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !
I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Phương trình bậc hai là gì?
Bạn đang xem: Cách giải phương trình bậc hai cực hay và cách nhẩm nghiệm nhanh chóng
Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0. Với
- x là ẩn số
- a, b, c là các số đã biết sao cho: a ≠ 0
- a, b, c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x [theo phương trình trên thì a là hệ số bậc hai, b là hệ số bậc một, c là hằng số hay số hạng tự do].
2. Ví dụ
Sau đây là 1 số ví dụ.
a] 2x² + 5x + 3 = 0
Trong phương trình này: hệ số a = 2, b = 5, c = 3. Đây là phương trình bậc hai một ẩn.
b] x² – 3x = 0
Phương trình hơi khác chút:+ Hệ số đâu nhỉ? a = 1 và ta không cần viết “1.x²“+ Hệ số b = − 3
+ Và c bằng mấy? c = 0 nên không cần viết.
Phương trình trên là phương trình bậc hai một ẩn.
c] − x² = 0
Các hệ số a = − 1, b = c = 0. Đây là phương trình bậc hai một ẩn.
II. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỰC HAY
Cách 1: Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử
Ví dụ:
x² − 3x − 4 = 0
⇔ x² + x − 4x − 4 = 0
⇔ x[x+1] − 4[x − 4] = 0
⇔ [x + 1][x − 4] = 0
⇔ x = −1 hoặc x = 4.
Cách 2: Tạo ra bình phương bằng cách thêm bớt
Ví dụ: x² + 4x − 5 = 0
⇔ x² + 2.2.x + 2² − 9 = 0 [ vì 5 = 4 − 9]
⇔ [x + 2]² = 9
⇔ x + 2 = − 3 hoặc x + 2 = 3
⇔ x = − 5 hoặc x = 1.
Những cách trên không phải áp dụng được cho tất cả các phương trình.
VẬY, có cách nào giúp ta giải phương trình bậc hai bất kì hay không?
Câu trả lời là CÓ cách sau đây:
Cách 3: Áp dụng công thức nghiệm.
Ta có công thức nghiệm tổng quát để giải phương trình bậc hai bất kì. Chi tiết như sau.
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT
Bước 1: Tính Δ = b² − 4ac.
Bước 2: Xét dấu của Δ.
- Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
- Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép [hai nghiệm trùng nhau]
- Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Thay các hệ số a, b, c vào công thức rồi tính là xong.
Ví dụ 1: Giải phương trình bậc hai sau:
3x² + 5x − 1 = 0
Ta có: a = 3, b = 5, c = − 1.
Δ’ = b² − ac = 5² − 4.3.[− 1] = 25 + 12 = 37 > 0.
⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Chú ý:
Nếu a và c trái dấu [a.c < 0] thì Δ = b² − 4ac > 0.
⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Nếu trong trường hợp b là số chẵn thì ta có thể đặt b = 2b’ và áp dụng công thức sau để giải phương trình bậc hai.
Công thức nghiệm RÚT GỌN
Bước 1: Tính Δ’ = b’² − ac.
Bước 2: Xét dấu của Δ’.
- Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
- Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép [hai nghiệm trùng nhau].
- Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
5x² + 4x − 1 = 0
Giải: Ta có: a = 5, b’ = 2, c = − 1.
Δ’ = b’² − ac = 2² − 5.[− 1] = 9 > 0.
⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Cách 4: Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng máy tính
Cách bấm máy tính bỏ túi CASIO FX570 để giải được phương trình bậc hai như sau:
Bước 1: Chọn lệnh giải phương trình bậc nhất 2 ẩn [“MODE” “5” “1”]. Chọn lệnh giải phương trình bậc nhất 2 ẩn như hiển thị trên màn hình
Bước 2: Khai báo các hệ số của phương trình, các hệ số cách nhau bằng dấu “=”
Bước 3: Bấm tiếp “=” để xem kết quả. Có 4 trường hợp:
- Phương trình 1 nghiệm [x]
- Phương trình 2 nghiệm [x và y]
- Phương trình vô nghiệm [No-Solution]
- Phương trình vô số nghiệm [infinite Solution].
III. CÁCH TÍNH NHẨM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Xuất phát từ định lý Vi-ét, chúng ta có các dạng toán tính nhẩm như sau:
Dạng 1: A = 1, B = Tổng, C = Tích
Nếu phương trình có dạng x2 – [u+v]x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v.
Nếu phương trình có dạng x2 + [u+v]x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và –v.
Tóm lại:
- x2 – [u+v]x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v [1]
- x2 + [u+v]x + uv = 0 => x1 = -u, x2 = -v
Như vậy, với dạng này chúng ta cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số c thành tích và b thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, chúng ta nên nhẩm hệ số c trước rồi kết hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng c và tổng bằng b.
Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau: Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b.
Ví dụ phương trình:
x2 – 5x + 6 = 0
Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2×3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.
x2 – 7x + 10 = 0
Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2×5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5.
Dạng 2: A + B + C = 0 và A – B + C = 0
x2 – [u+v]x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v [1]
- Nếu thay v = 1 vào [1] thì chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = -[u+1], c = u.
- Nếu thay v = -1 vào [1] thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = -[u-1], c = -u.
Do loại này đã quá quen thuộc và thường gặp, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào Dạng 1 và Dạng 3.
Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
Nếu u ≠ 0 và v = 1/u thì phương trình [1] có dạng:
Khi đó: Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x= u, x = 1/u. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình:
- 2x2 – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 2, x = 1/2
- 3x2 – 10x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 3, x = 1/3
IV. BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
a] Phương trình bậc hai 2x² – 7x + 3 = 0
Có: a = 2; b = -7; c = 3; Δ = b² – 4ac = [-7]² – 4.2.3 = 25 > 0
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Vậy phương trình có hai nghiệm là 3 và 1/2.
b] Phương trình bậc hai 6x² + x + 5 = 0
Có a = 6; b = 1; c = 5; Δ = b² – 4ac = 1² – 4.5.6 = -119 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
c] Phương trình bậc hai 6x² + x – 5 = 0
Có a = 6; b = 1; c = -5; Δ = b² – 4ac = 1² – 4.6.[-5] = 121 > 0
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Vậy phương trình có hai nghiệm là -1 và 5/6.
d] Phương trình bậc hai 3x² + 5x + 2 = 0
Có a = 3; b = 5; c = 2; Δ = b² – 4ac = 5² – 4.3.2 = 1 > 0
Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Vậy phương trình có hai nghiệm là -1 và -2/3.
e] Phương trình bậc hai y² – 8y + 16 = 0
Có a = 1; b = -8; c = 16; Δ = b² – 4ac = [-8]² – 4.1.16 = 0.
Áp dụng công thức nghiệm ta có phương trình có nghiệm kép :
Vậy phương trình có nghiệm kép y = 4.
f] Phương trình bậc hai 16z² + 24z + 9 = 0
Có a = 16; b = 24; c = 9; Δ = b² – 4ac = 24² – 4.16.9 = 0
Áp dụng công thức nghiệm ta có phương trình có nghiệm kép:
Vậy phương trình có nghiệm kép – 3/4.
Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức Δ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
a] 7x² – 2x + 3 = 0
Có: a = 7; b = – 2; c = 3; Δ = b² – 4ac = [–2]²– 4.7.3 = – 80 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
b] 5x² + 2√10x + 2 = 0
Có: a = 5; b = 2√10; c = 2; Δ = b² – 4ac = [2√10]² – 4.2.5 = 0
Vậy phương trình có nghiệm kép.
c] Phương trình bậc hai
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
d] Phương trình bậc hai 1,7x² – 1,2x – 2,1 = 0
Có: a = 1,7; b = – 1,2; c = – 2,1; Δ = b² – 4ac = [–1,2]² – 4.1,7.[–2,1] = 15,72 > 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3: Giải phương trình 4x2 – 2x – 6 = 0 [2]
Δ=[-2]2 – 4.4.[-6] = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình [2] đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 4: Giải phương trình 2x2 – 7x + 3 = 0 [3]
Tính Δ = [-7]2 – 4.2.3 = 49 – 24= 25 > 0 => [3] có 2 nghiệm phân biệt:
Để kiểm tra xem bạn đã tính nghiệm đúng chưa rất dễ, chỉ cần thay lần lượt x1, x2 vào phương trình 3, nếu ra kết quả bằng 0 là chuẩn. Ví dụ thay x1, 2.32-7.3+3=0.
Bài 5: Giải phương trình 3x2 + 2x + 5 = 0 [4]
Tính Δ = 22 – 4.3.5 = -56 < 0 => phương trình [4] vô nghiệm.
Bài 6: Giải phương trình x2 – 4x +4 = 0 [5]
Tính Δ = [-4]2 – 4.4.1 = 0 => phương trình [5] có nghiệm kép:
Trên đây THPT Sóc Trăng đã giới thiệu đến quý bạn đọc lý thuyết về phương trình bậc hai cùng cách giải phương trình bậc hai cực hay và cực nhanh. Hi vọng, những thoog tin này hữu ích với bạn. Xem thêm cách giải phương trình bậc ba tại đường link này bạn nhé !
Đăng bởi: THPT Sóc Trăng
Chuyên mục: Giáo dục