Phương trình đường chuẩn trong elip
lí thuyết tóm tắt và bài tập điển hình về phương trình elip
lí thuyết tóm tắt và bài tập điển hình về phương trình elip
PHƯƠNG TRÌNH ELIP A. Lý thuyết I. Định nghĩa Cho hai điểm cố định F1, F2, với F1F2 = 2c > 0. Elip là tập hợp những điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a không đổi (a > c).
II. Phương trình chính tắc của Elip (E): \[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\]
Công thức tính bán kính qua tiêu III. Hình dạng Elip
IV. Tâm sai $e=\frac{c}{a}$
B. Bài tập minh họa Dạng 1: Viết phương trình chính tắc của elip Ta luôn gọi PT chính tắc của elip là
Giải 1) Do (E) đi qua M nên \[\frac{9}{5{{a}^{2}}}+\frac{16}{5{{b}^{2}}}=1\] (1); Lại có \[\angle {{F}_{1}}M{{F}_{2}}={{90}^{0}}\Leftrightarrow OM=\frac{1}{2}{{F}_{1}}{{F}_{2}}=c\Leftrightarrow c=\sqrt{5}\] Như vậy ta có hệ điều kiện Giải hệ ta được \[{{a}^{2}}=9;{{b}^{2}}=4\Rightarrow (E):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\]. Trường hợp tổng quát khi \[\angle {{F}_{1}}M{{F}_{2}}=\alpha \] cho trước dành cho bạn đọc. 2) Tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc \[{{60}^{0}}\]nên tam giác \[F{{B}_{1}}{{B}_{2}}\] đều (\[{{B}_{1}},{{B}_{2}}\] là hai đỉnh trên trục nhỏ), suy ra \[c=b\sqrt{3}\Rightarrow a=2b\], từ đó tìm ra \[(E):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{\frac{9}{4}}=1\] (trường hợp \[\angle {{B}_{1}}F{{B}_{2}}=\alpha \] ta vẫn làm tương tự). 3) Ta có ngay \[b=c\]. Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( 4;0 \right)\], bán kính R=2 và đường tròn \[\left( C' \right)\] có tâm \[O\left( 0;0 \right)\], bán kính \[R'=b\]. +) Nếu (C) và (C') tiếp xúc trong thì \[OI=\left| R-b \right|\Leftrightarrow 4=\left| b-2 \right|\Leftrightarrow b=6\Rightarrow a=6\sqrt{2}\]. Do đó PT của \[\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{72}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=1\]. +) Nếu (C) và (C') tiếp xúc ngoài nhau thì \[OI=R+b\Leftrightarrow 4=b+2\Leftrightarrow b=2\Rightarrow a=\sqrt{8}\]. Do đó PT của \[\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{8}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\]. Dạng 2: Tìm các điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước Với dạng bài này ta chú ý tới công thức bán kính qua tiêu: \[M(x;y)\in (E)\] thì \[M{{F}_{1}}=a+ex;M{{F}_{2}}=a-ex\].
Giải 1) Gọi \[M(x;y)\Rightarrow M{{F}_{1}}=2+\frac{\sqrt{3}}{2}x;M{{F}_{2}}=2-\frac{\sqrt{3}}{2}x\]. Từ \[M{{F}_{1}}=2M{{F}_{2}}\Rightarrow x=\frac{4}{3\sqrt{3}}\]. Từ đó tìm ra \[y=\pm \frac{\sqrt{23}}{3\sqrt{3}}\]. Vậy có hai điểm M cần tìm là \[M\left( \frac{4}{3\sqrt{3}};\pm \frac{\sqrt{23}}{3\sqrt{3}} \right)\]. 2) Theo định lý côsin trong tam giác \[M{{F}_{1}}{{F}_{2}}\] ta có: \[4{{c}^{2}}={{F}_{1}}F_{2}^{2}=MF_{1}^{2}+MF_{2}^{2}-M{{F}_{1}}.M{{F}_{2}}.\cos {{120}^{0}}\] Ta được một PT bậc hai ẩn x. 3) Trong trường hợp này trước hết ta xét điểm M nằm phía trên trục hoành. Khi đó có hệ số góc là \[k=\tan {{120}^{0}}=-\sqrt{3}\] nên viết được PT đường thẳng\[M{{F}_{1}}\]. Từ đó tìm ra một điểm \[{{M}_{1}}\] Ta sẽ có hai đáp số đó là \[{{M}_{1}}\] và điểm \[{{M}_{2}}\] đối xứng với \[{{M}_{1}}\] qua trục hoành. Nhận xét: Trong cả hai trường hợp trên ta đều có thể thay góc \[\angle {{F}_{1}}M{{F}_{2}}=\alpha \] và \[\angle M{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\alpha \] với \[\alpha \]bất kì.
Giải Gọi \[A(x;y)\Rightarrow B(x;-y);\text{ }x>0\]. Ta có \[AB=2\left| y \right|=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\] Gọi H là trung điểm AB thì \[OH=x\Rightarrow {{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}.OH.AB=\frac{1}{2}x.\sqrt{4-{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{x}^{2}}(4-{{x}^{2}})}\le 1\]. Đẳng thức xảy ra khi \[x=\sqrt{2}\]. Vậy \[A\left( \sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right);B\left( \sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\] hoặc \[A\left( \sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2} \right);B\left( \sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\]. Nhận xét: Việc đánh giá maxS khá thuận lợi vì hoành độ của A và B dương. Trong những trường hợp khác ta có thể đưa về khảo sát hàm số. Ta minh họa điều này bằng một bài toán tương tự sau
Giải Gọi \[A(x;y)\Rightarrow B(x;-y)\]. Tính được \[{{S}_{ABC}}=\left| (2-x)y \right|\] Ta có \[S_{ABC}^{2}={{(2-x)}^{2}}{{y}^{2}}={{(2-x)}^{2}}.\frac{4-{{x}^{2}}}{4}\]. Sau đó xét hàm số Khảo sát hàm f(x) suy ra f(x) đạt max tại x=1. Từ đó suy ra tọa độ các điểm cần tìm A,B. Trong hai thí dụ 3 và 4 ta đều sử dụng tính chất đối xứng của elip, cụ thể là gọi \[A(x;y)\]thì ta suy ra \[B(x;-y)\]. Tuy nhiên nếu không sử dụng được tính chất này nữa thì vấn đề sẽ khó khăn hơn rất nhiều. Ta tiếp tục xét bài toán sau.
Giải Ta hoàn toàn không thể xử lí bài toán như trong thí dụ 3 và 4. Tuy nhiên dấu hiệu tam giác OAB vuông tại O gợi ta nhớ đến một kết quả cơ bản trong elip: Nếu A và B là hai điểm di động trên elip \[(E):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\] sao cho \[OA\bot OB\] thì \[\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}\] không đổi (Kết quả này xin dành cho bạn đọc). Áp dụng kết quả này ta được: \[\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\ge \frac{2}{OA.OB}=\frac{1}{{{S}_{OAB}}}\Rightarrow {{S}_{OAB}}\ge \frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\]. Nhận xét: Cũng từ kết quả \[\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\] không đổi ta suy ra đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Thật vậy, kẻ \[OH\bot AB\] thì \[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}\Rightarrow OH=\frac{ab}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\], tức là AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính \[R=\frac{ab}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]. Bài toán 7.b trong đề thi ĐH khối B năm 2012 cũng dựa trên tư tưởng này. Dạng 3: Tương giao giữa đường thẳng và elip
Giải Nếu elip (E) được thay bởi một đường tròn (C) thì đây là bài toán dễ. Tuy nhiên với elip thì phức tạp hơn hẳn. Ta có thể giải như sau: Gọi \[A(x;y)\in (E)\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=1\] (1). Do M là trung điểm của AB nên \[B(6-x;4-y)\]. Vì \[B\in (E)\Rightarrow \frac{{{(6-x)}^{2}}}{100}+\frac{{{(4-y)}^{2}}}{36}=1\] (2). Từ (1) và (2) ta được \[27x+50y-131=0\] (*). Do tọa độ A,B đều thỏa mãn (*) nên phương trình (*) chính là PT đường thẳng d cần tìm. Nhận xét: Bằng cách này ta có thể giải được bài toán tổng quát khi thay giả thiết \[MA=MB\] bằng giả thiết M chia đoạn AB theo tỉ số k nào đó.
Giải Tọa độ B, C là nghiệm của hệ: Gọi $I({{x}_{I}};{{y}_{I}})$ là trung điểm BC, ta có ngay ${{y}_{I}}=\frac{1}{2}\left( {{y}_{A}}+{{y}_{B}} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (định lý Viét). Từ đó tìm ra ${{x}_{I}}=-1$. Vậy $I\left( 1;\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$. Khi đã có I ta sẽ viết được phương trình trung trực của đoạn BC, từ đó tìm ra tọa độ điểm A cần tìm. C. Bài tập tự luyện Câu 1: Khoảng cách từ điểm M(-1;1) đến đường thẳng 3x-4y-3=0 bằng bao nhiêu? A.\[\frac{2}{5}\] B. 2 C. \[\frac{4}{5}\] D. \[\frac{4}{25}\] Câu 2: Hypebol \[\frac{{{x}^{2}}}{16}-\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\] có hai tiêu điểm là :
Câu 3 :Viết phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F(3 ; 0) và đỉnh là gốc tọa độ O
Câu 4 :Xác định tiêu điểm của Parabol có phương trình y2 = 6x
Câu 5: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn: A. x2 + 2y2 - 4x - 8y + 1 = 0 B.4x2 + y2 - 10x - 6y -2 = 0 C. x2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0 D.x2 + y2 - 4x +6y - 12 = 0 Câu 6 : Cho elíp có phương trình 16x2 + 25y2 = 100 . Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ x = 2 đến hai tiêu điểm .
Câu 7 : Đường thẳng qua M(1 ; 1) và cắt elíp (E) : 4x2 + 9y2 = 36 tại hai điểm M1 , M2 sao cho MM1 = MM2 có phương trình là
Câu 8 : Cho điểm A(3 ; 0) , gọi M là một điểm tuỳ ý trên (P) : y2 = x . Tìm giá trị nhỏ nhất của AM .
Câu 9 : Cho M là một điểm thuộc (P) : y2 = 64x , N là một điểm thuộc đường thẳng (d) : 4x + 3y +46 = 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN .
Câu 10 : Giả sử đường tròn ( O ) tiếp xúc với đường thẳng D . Quỹ tích tâm các đường tròn thay đổi nhưng tiếp xúc với ( O ) và (d ) tại hai điểm phân biệt là :
Đáp án bài tập tự luyện
Bài viết gợi ý: |