Lognormal Distribution là gì

Trong lý thuyết xác suất , phân phối log-chuẩn (hoặc lognormal) là phân phối xác suất liên tục của một biến ngẫu nhiên có logarit được phân phối chuẩn . Do đó, nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn log thì Y = ln ( X ) có phân phối chuẩn. [1] [2] [3] Tương tự, nếu Y có phân phối chuẩn, thì hàm mũ của Y , X = exp ( Y ), có phân phối log-chuẩn. Một biến ngẫu nhiên được phân phối log-chuẩn chỉ nhận các giá trị thực dương. Đây là một mô hình thuận tiện và hữu ích cho các phép đo trong khoa học kỹ thuật và chính xác , cũng như y học , kinh tế và các chủ đề khác (ví dụ: năng lượng, nồng độ, độ dài, lợi nhuận tài chính và các số liệu khác).

Phân phối đôi khi được gọi là phân phối Galton hoặc phân phối của Galton , theo tên của Francis Galton . [4] Phân phối log-chuẩn cũng được kết hợp với các tên khác, chẳng hạn như McAlister, Gibrat và Cobb Douglas . [4]

Một quá trình đăng nhập bình thường là việc thực hiện thống kê của các nhân giống sản phẩm của nhiều độc lập biến ngẫu nhiên , mỗi trong số đó là tích cực. Điều này được chứng minh bằng cách xem xét định lý giới hạn trung tâm trong miền log (đôi khi gọi là định luật Gibrat ). Phân phối log-chuẩn là phân phối xác suất entropy tối đa cho một phương sai ngẫu nhiên X mà giá trị trung bình và phương sai của ln ( X ) được chỉ định. [5]

Giả sử là một biến bình thường chuẩn , và cho và là hai số thực. Khi đó, phân phối của biến ngẫu nhiên Z{\ displaystyle Z}

μ{\ displaystyle \ mu}

σ>0{\ displaystyle \ sigma> 0}

được gọi là phân phối log-chuẩn với các tham số và . Đây là giá trị kỳ vọng (hoặc giá trị trung bình ) và độ lệch chuẩn của lôgarit tự nhiên của biến , không phải là kỳ vọng và độ lệch chuẩn của chính nó. μ{\ displaystyle \ mu}σ{\ displaystyle \ sigma}NS{\ displaystyle X}

Mối quan hệ này đúng bất kể cơ số của hàm logarit hay hàm mũ: nếu là phân phối chuẩn, thì đối với bất kỳ hai số dương nào cũng vậy . Tương tự như vậy, nếu được phân phối log-normal, thì cũng vậy , ở đâu . khúc gỗMột(NS){\ displaystyle \ log _ {a} (X)}

khúc gỗNS(NS){\ displaystyle \ log _ {b} (X)}

Một,NS1{\ displaystyle a, b \ neq 1}

eY{\ displaystyle e ^ {Y}}

MộtY{\ displaystyle a ^ {Y}}

0

---

Mối quan hệ giữa phân phối chuẩn và log-chuẩn. Nếu được phân phối bình thường, thì được phân phối bình thường theo log.Y=μ+σZ{\ displaystyle Y = \ mu + \ sigma Z}

NSeY{\ displaystyle X \ sim e ^ {Y}}

Một. là một biến log-normal với . được tính bằng cách chuyển đổi thành biến bình thường , sau đó tích phân mật độ của nó trên miền được xác định bởi (vùng màu xanh lam), sử dụng phương pháp số của phương pháp dò tia. [15] b & c. Pdf và cdf của hàm của biến log-normal cũng có thể được tính theo cách này.y{\ displaystyle y}

μ=1,σ=0,5{\ displaystyle \ mu = 1, \ sigma = 0,5}

p(siny>0){\displaystyle p(\sin y>0)}

x=lny{\displaystyle x=\ln y}

sinex>0{\displaystyle \sin e^{x}>0}

siny{\displaystyle \sin y}

So sánh giá trị trung bình , trung vị và phương thức của hai phân phối log-chuẩn với độ lệch khác nhau .

Tổng quan về các tham số hóa của các phân phối log-chuẩn.

Đã trang bị phân phối log-chuẩn tích lũy cho lượng mưa tối đa hàng năm trong 1 ngày, xem điều chỉnh phân phối