Giải bài tập toán trang 121 lớp 11 năm 2024
|
Câu a: Sau chu kì thứ nhất khối lượng chất phóng xạ còn lại là: \(u_1=\frac{1}{2} (kg)\) Sau chu kì thứ hai khối lượng chất phóng xạ còn lại là \(u_2=\left (\frac{1}{2} \right )^2\) Sau chu kì thứ hai khối lượng chất phóng xạ còn lại là \(u_2=\left (\frac{1}{2} \right )^3\) ....... Sau chu kì thứ n khối lượng chất phóng xạ còn lại là \(u_n=\left (\frac{1}{2} \right )^n\) Như vậy số hạng quát của un là \(u_n=\frac{1}{2^n}\) Câu b: Xét (un) biết \(u_n=\frac{1}{2^n}\). Ta thấy khi \(n\rightarrow +\infty\) thì \(2^n\rightarrow +\infty\) nên \(u_n=\frac{1}{2^n}\rightarrow 0\). Vậy \(lim \ u_n =0.\) Câu c: Để ý rằng \(10^-6g =10^{-6}.10^{-3} kg=\frac{1}{10^9} kg.\) Từ trên ta suy ra: Khi \(\frac{1}{2^n}< \frac{1}{10^9}\Leftrightarrow 2^n> 10^9\) thì chất phóng xạ không còn độc hại nữa. Có \(1 kg\) chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian \(T = 24 000\) năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (\(T\) được gọi là chu kì bán rã). Gọi \((u_n)\) là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ \(n\). LG a Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số \((u_n)\). Phương pháp giải: Tính \(u_1;u_2;u_3;...\), từ quy luật đó dự đoán công thức của \(u_n\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Lời giải chi tiết: Ta có: +) Sau chu kì thứ nhất, lượng chất phóng xạ còn \(\dfrac{1}{2}\). +) Sau chu kì thứ hai, lượng chất phóng xạ còn \(\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^2}\). +) Sau chu kì thứ ba, lượng chất phóng xạ còn \(\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2^3}\). Do đó \(u_1=\dfrac{1}{2}\); \(u_2= \dfrac{1}{2^2}\); \(u_3=\dfrac{1}{2^3}\); ... . Từ đó ta dự đoán công thức \(u_n=\dfrac{1}{2^{n}}\) \(\forall n \ge 1\). Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp. Hiển nhiên công thức trên đúng với \(n=1\). Giả sử công thức đúng với mọi \(k \ge 1\), tức là có \(u_k=\dfrac {1} {2^k}\), ta chứng minh công thức đó đúng với mọi \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(u_{k+1}=\dfrac {1} {2^{k+1}}\). Ta có \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k}}}{2} = \dfrac{1}{{{2^k}}}:2 = \dfrac{1}{{{2^k}}}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{{2^{k + 1}}}}\) Vậy \({u_n} = \dfrac{1}{{{2^n}}}\,\,\forall n \in {N^*}\). Quảng cáo LG b Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là \(0\). Phương pháp giải: Tính \(\lim{u_n}\). Lời giải chi tiết: \(\displaystyle \lim {u_n} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\). LG c Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}g\). Phương pháp giải: Chất phóng xạ sẽ không còn độc hại nếu \({u_n} < {10^{ - 6}};\) tìm n. Lời giải chi tiết: Đổi \(10^{-6}g = \dfrac{1}{10^{6}} . \dfrac{1}{10^{3}}kg = \dfrac{1}{10^{9}} kg\). Để chất phóng xạ sẽ không còn độc hại, ta cần tìm n để \({u_n} = \dfrac{1}{{{2^n}}} < \dfrac{1}{{{{10}^9}}} \Leftrightarrow {2^n} > {10^9} \Leftrightarrow n \ge 30\) Nói cách khác, sau chu kì thứ \(30\) (nghĩa là sau \(30.24000 = 720000\) (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại. Giải Toán lớp 11: Giới hạn của dãy số là tài liệu hữu ích hỗ trợ giải bài tập Toán lớp 11 dễ dàng và hiệu quả nhất. Tài liệu Giải Toán lớp 11 : Giới hạn của dãy số được trình bày đầy đủ nội dung là hệ thống danh sách các bài giải bài tập toán lớp 11 chi tiết, ngắn gọn, dễ hiểu bám sát theo nội dung chương trình học của sách giáo khoa cũng như sách bài tập toán 11. Các bạn học sinh hoàn toàn có thể tham khảo tài liệu giải toán 11 để làm bài tập, củng cố kiến thức và ôn luyện để chuẩn bị kiến thức tốt nhất cho các kì thi. Bài viết liên quan
Tài liệu Giải Toán lớp 11: Giới hạn của dãy số với những hướng dẫn giải bài tập toán cụ thể các em học sinh có thể ứng dụng cho việc làm bài tập tại nhà cũng như tự mình làm và so sánh kết quả và đánh giá khả năng học tập của mình tốt nhất. Việc sử dụng tài liệu tham khảo giải toán lớp 11 còn hỗ trợ quá trình nắm bắt được những phương pháp giải toán, lựa chọn cho mình cách giải nhanh chóng và cho kết quả chính xác nhất. Để học tốt Toán lớp 11 các bạn hãy cùng tham khảo chi tiết tài liệu giải bài tập Toán lớp 11 hay những tài liệu giải bài tập hình học 11 để ứng dụng cho quá trình học tập đạt kết quả tốt hơn. Sau bài Giải Toán lớp 11: Giới hạn của dãy số ở bài sau chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về giải Toán lớp 11: Giới hạn của hàm số, các bạn hãy cùng theo dõi nhé. Hãy chú ý ôn luyện thêm phần Giải Toán 11 trang 36, 37 của Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp để rèn luyên tư duy tính toán cũng như đạt được kết quả học tập Toán lớp 11 tốt hơn. Để đạt được kết quả học tập tốt hơn, các em cũng cần đặc biệt quan tâm tới nội dung Giải Toán 11 trang 40, 41 của Ôn tập chương I - Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác một bài học rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Hơn nữa, Giải bài tập trang 97, 98 SGK Đại Số và Giải Tích 11 là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11 mà các em cần phải đặc biệt lưu tâm. |
