Bài tập toán 12 trang 44 bài 4 năm 2024

Hướng dẫn giải bài tập và đáp án bài 4 trang 44 SGK giải tích lớp 12

Đề bài

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

Hướng dẫn giải

+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số y = f(x) lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.

+) Số nghiệm của phương trình f(x) = a là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = a

+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.

Đáp án bài 4 trang 44 sgk giải tích lớp 12

• Xem thêm

» Bài tiếp theo: Bài 5 tr 44 sgk Toán 12

» Bài tham khảo: sgk Toán 12 - Bài 3 trang 43

Bạn còn vấn đề gì băn khoăn?

Vui lòng cung cấp thêm thông tin để chúng tôi giúp bạn

Giải bài 4 trang 44 SGK Giải tích 12

Bài 4 (trang 44 SGK Giải tích 12): Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

1. x3 - 3x2 + 5 = 0 ;

2. -2x3 + 3x2 - 2 = 0 ;

3. 2x2 - x4 = -1

Bài giải:

1. Xét y = f(x) = x3 - 3x2 + 5 (1)

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

f'(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 ⇔ x = 0 ; x = 2

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

⇒ phương trình x3 - 3x2 + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất.

2. Xét hàm số y = f(x) = -2x3 + 3x2 – 2.

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1)

y' = 0 ⇔ x = 0 ; x = 1

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình -2x3 + 3x2 - 2 = 0 chỉ có một nghiệm.

3. Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - x4

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2)

y' = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm

⇒ Phương trình f(x) = -2 có hai nghiệm phân biệt.

+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \(y=f\left( x \right)\) lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.

+) Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=a\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) với đường thẳng \(y=a.\)

+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y={{x}^{3}}-3{{x}{2}}+5\)

+) Tập xác định: \(D=R.\)

+) Sự biến thiên:

Ta có: \(y'=3{{x}^{{2}}-6x\Rightarrow y'=0\) \(\Leftrightarrow 3{{x}}{2}}-6x=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right..\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(- \infty ;0 \right)\) và \(\left( 2;+\infty \right)\); hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 2 \right).\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=5.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2;\ \ {{y}_{CT}}=1.\)

+) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)

Bảng biến thiên:

+) Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( 0;\ 5 \right).\)

Số nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}{2}}+5=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}{2}}+5\) và trục hoành.

Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

LG b

\(- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\) ;

Phương pháp giải:

Xét phương trình tương đương, sau đó:

+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \(y=f\left( x \right)\) lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.

+) Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=a\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) với đường thẳng \(y=a.\)

+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(-2{{x}^{3}}+3{{x}{2}}-2=0.(*)\)

Ta có: (*) \(\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}{2}}=-2.\)

Xét hàm số: \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}{2}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=6{{x}^{{2}}-6x\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 6{{x}}{2}}-6x=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right).\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=0.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1;\ {{y}_{CT}}=-1.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Số nghiệm của phương trình \(-2{{x}^{3}}+3{{x}{2}}-2=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}{2}}\) và đường thẳng \(y=-2.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=-1\) cắt đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{2}}-{{x}{4}}\) tại hai điểm phân biệt.