Giải bài 34 trang 84 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 1/2 DC. Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh rằng AI = IM.
Xem lời giải
Bài 34 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 1/2 DC, Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh: AI = IM
Lời giải:
Gọi E là trung điểm của DC
Trong ΔBDC, ta có:
M là trung điểm của BC [gt]
E là trung điểm của CD [gt]
Nên ME là đường trung bình của ∆BCD
⇒ ME // BD [tính chất đường trung bình tam giác]
Suy ra: DI // ME
AD = 1/2 DC [gt]
DE = 1/2 DC [cách vẽ]
⇒ AD = DE và DI//ME
Nên AI= IM [tính chất đường trung bình của tam giác].
Bài 35 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng ba điểm E, F, I thắng hàng.
Lời giải:
* Hình thang ABCD có AB // CD
E là trung điểm của AD [gt]
F là trung điểm của BC [gt]
Nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD
EF // CD [tỉnh chất đưòng trung bình hình thang] [1]
* Trong ΔADC ta có:
E là trung điểm của AD [gt]
I là trung điểm của AC [gt]
Nên EI là đường trung bình của ΔADC
⇒ EI // CD [tính chất đường trung bình tam giác] [2]
Từ [1] và [2] và theo tiên đề ƠClít ta có đường thẳng EF và EI trùng nhau. Vậy E, F, I thẳng hàng
Bài 36 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung đếm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng:
- EI//CD, IF//AB
Lời giải:
- * Trong tam giác ADC, ta có:
E là trung điểm của AD [gt]
I là trung điểm của AC [gt]
Nên EI là đường trung bình của ΔADC
⇒EI // CD [tỉnh chất đường trung bình của tam giác] và EI = CD / 2
* Trong tam giác ABC, ta có:
I là trung điểm của AC
F là trung điểm của BC
Nên IF là đường trung bình của ΔABC
⇒IF // AB [tỉnh chất đường trung bình của tam giác] và IF= AB / 2
- Trong ΔEIF ta có: EF ≤ EI + IF [dấu “ = ” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng] mà EI = CD / 2 ; IF= AB / 2 [chứng minh trên]
⇒
Vậy
Bài 37 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang ABCD [AB // CD], M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho biết AB = 6Cm, CD = l4cm. Tính độ dài MI, IK, KN.
Lời giải:
Hình thang ABCD có AB // CD
M là trung điểm của AD [gt]
N là trung điểm của BC [gt]
Nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD ⇒ MN//AB// CD
MN = [AB + CD] / 2 = [6 + 14] / 2 = 10 [cm]
* Trong tam giác ADC, ta có:
M là trung điểm của AD
MK // CD
⇒ AK= KC và MK là đường trung bình của ΔADC.
⇒ MK = 1/2 CD = 1/2 .14 = 7 [cm]
Vậy: KN = MN – MK = 10 – 7 = 3 [cm]
* Trong ΔADB, ta có:
M là trung điểm của AD
MI // AB nên DI = IB
⇒ MI là đường trung bình của ΔDAB
⇒ MI = 1/2 AB = 1/2 .6 = 3 [cm]
IK = MK – Ml = 7 – 3 = 4 [cm]
Bài 38 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE//IK, DE= IK.
Lời giải:
* Trong ΔABC, ta có:
E là trung điểm của AB [gt]
D là trung điểm của AC [gt]
Nên ED là đường trung bình của ΔABC
⇒ ED//BC và ED = BC/2 [tính chất đường trung bình của tam giác] [l]
* Trong ΔGBC, ta có:
I là trung điểm của BG [gt]
K là trúng điểm của CG [gt]
Nên IK là đường trung bình của ΔGBC
⇒ IK // BC và IK = BC/2 [tỉnh chất đường trung bình của tam giác] [2]
Từ [l] và [2] suy ra: IK // DE, IK = DE.
Bài 39 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC. Chứng minh AE = 1/2 EC.
Lời giải:
Gọi F là trung điểm của EC.
Trong ΔCBE, ta có:
M là trung điểm của CB;
F là trung điểm của CE.
Nên MF là đường trung bình của ΔCBE
⇒ MF// BE [tính chất đường trung bình của tam giác] hay DE// MF
* Trong ΔAMF, ta có: D là trung điểm của AM
DE // MF
Suy ra: AE = EF [tính chất đường trung bình của tam giác]
Mà EF = FC = EC/2 nên AE = 1/2 EC
Bài 40 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh MI = IK = KN.
Lời giải:
Trong ΔABC ta có: E là trung điểm của cạnh AB
D là trung điểm của cạnh AC
Nên ED là đường trung bình của Δ ABC
⇒ ED // BC và ED = 1/2 BC
[tính chất đường trung bình của tam giác]
Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE
M là trung điểm cạnh bên BE
N là trung điểm cạnh bên CD
Nên MN là đường trung hình hình thang BCDE ⇒ MN // DE
[tính chất đường trung bình hình thang]
Trong ΔBED, ta có: M là trung điểm BE
MI // DE
Suy ra: MI là đường trung bình của ΔBED
⇒ MI = 1/2 DE – 1/4 BC [tính chất đường trung bình của tam giác]
Trong ΔCED ta có: N là trung điểm CD
NK // DE
Suy ra: NK là đường trung bình của ΔCED
⇒ NK = 1/2 DE = 1/4 BC [tính chất đường trung bình của tam giác]
IK = MN – [MI + NK] = 3/4 BC – [1/4 BC + 1/4 BC] = 1/4 BC
⇒ MI = IK = KN = 1/4 BC
Bài 41 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai dây thì đi qua trung điểm của hai đường chéo và đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
Lời giải:
Xét hình thang ABCD có AB // CD.
E là trung điểm AD, đường thẳng đi qua E song song với AB cắt BC tại F, AC tại K, BD tại I.
Vì E là trung điểm AD nên EF// AB
Suy ra: BF = FC [tính chất đường trung bình hình thang]
Trong ΔADC ta có: E là trung, điểm của cạnh AD
EK // DC
Suy ra: AK = KC [tính chất đường trung bình của tam giác]
Trong ΔABD ta có: E là trung điểm của cạnh AD
EI // AB
Suy ra: BI = ID [tính chất đường trung bình của tam giác]
Vậy đường thẳng đi qua trung điểm E của cạnh bên AD của hình thang ABCD thì đi qua trung điểm của cạnh bên BC và trung điểm hai đường chéo AC, BD.
Bài 42 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo bằng nửa hiệu của hai đáy.