Điều kiện để phương trình bậc 3 có 2 cực trị
Cực trị hàm số bậc 3 là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán 12 và thi THPT Quốc Gia. Vậy cực trị hàm số bậc 3 là gì? Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3? Lý thuyết và Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé! Show Cực trị của hàm số là gì?Cho hàm số \( y= f(x) \) liên tục và xác định trên khoảng \( (a;b) \) và điểm \( x_0 \in (a;b) \)
Định lý: Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục, xác định và có đạo hàm cấp 2 trên khoảng \( (a;b) \). Khi đó
Xem chi tiết >>> Cực trị của hàm số là gì? Cực trị của một số hàm số Cực trị của hàm số bậc 3 là gì?Cho hàm số bậc 3 \( y=f(x) = ax^3+bx^2+cx+d \) Đạo hàm \( y’=f’(x) = 3ax^2+2bx+c \)
\(\Leftrightarrow f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac >0\)
Bài tập về cực trị hàm đa thức bậc 3Dạng 1: Tìm điểm cực trị hàm số bậc 3Đây là dạng bài cơ bản nhất, chỉ cần sử dụng Định lý ở mục trên là có thể tìm được cực đại, cực tiểu của hàm số. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số : \( f(x) =x^3-3x^2-2 \) Cách giải: Tập xác định \(D=\mathbb{R}\) Ta có : \( f’(x) = 3x^2-6x =3x(x-2) \) Vậy \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array}\right.\) Mặt khác : \( f’’(x) =6x-6 \) \( \Rightarrow f’’(0) =-6<0 \Rightarrow \) hàm số đạt cực đại tại điểm \( (0;-2) \) \( f’’(2) =6>0 \Rightarrow \) hàm số đạt cực đại tại điểm \( (2;-6) \) Dạng 2: Tìm \( m \) để hàm số bậc 3 có 2 cực trịBài toán: Tìm \( m \) để hàm số \( y=f(x;m) =ax^3+bx^2+cx+d \) có \( 2 \) điểm cực trị với \( a,b,c,d \) là các hệ chứa \( m \) Cách làm:
Ví dụ: Tìm \( m \) đề hàm số \( f(x) = y=2x^{3}+3(m-1)x^{2}+6(m-2)x – 1 \) có hai điểm cực trị Cách giải: Xét \( y=2x^{3}+3(m-1)x^{2}+6(m-2)x – 1 \) có tập xác định \( D=\mathbb {R} \) Ta có : \( y’=6x^2+6(m-1)x+6(m-2) \) Để hàm số có hai cực trị thì \( y’=0 \) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow x^2+(m-1)x+(m-2)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta = (m-1)^2-4(m-2)>0\) \(\Leftrightarrow m^2-6m+9=(m-3)^2>0\) \(\Leftrightarrow m \neq 3\) Dạng 3: Tìm \( m \) để hai cực trị thỏa mãn điều kiệnBài toán: Tìm \( m \) để hàm số \( y=f(x;m) =ax^3+bx^2+cx+d \) có \( 2 \) điểm cực trị \( x_1;x_2 \) thỏa mãn điều kiện \( K \) với \( a,b,c,d \) là các hệ chứa \( m \) Cách làm:
\(\left\{\begin{matrix} S=x_1+x_2=\frac{-b}{3a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{3a} \end{matrix}\right.\)
Ví dụ: Cho hàm số \( y= 4x^3+mx^2-3x \). Tìm \( m \) để hàm số đã cho có hai điểm cực trị \( x_1; x_2 \) thỏa mãn \( x_1=-4x_2 \) Cách giải: Tập xác định \(D=\mathbb{R}\) Đạo hàm : \( y’=12x^2+2mx-3 \) Để hàm số có hai cực trị thì phương trình \( y’=0 \) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta’=m^2+36 >0\) Điều này luôn đúng với mọi \(m \in \mathbb{R}\) Vậy \( y \) luôn có hai điểm cực trị có hoành độ \( x_1;x_2 \) thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2 = \frac{-m}{6}\\ x_1x_2=\frac{-1}{4} \end{matrix}\right.\) ( theo Vi-ét) Vì \( x_1=-4x_2 \) nên thay vào hệ trên ta có : \(\left\{\begin{matrix} -3x_2 = \frac{-m}{6}\\ -4x_2^2=\frac{-1}{4} \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=18x_2\\ x_2^2=\frac{1}{16} \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{1}{4}\\ m=\frac{9}{2} \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{-1}{4}\\ m=-\frac{9}{2} \end{matrix}\right. \end{array}\right.\) Vậy \(m=\frac{9}{2}\) hoặc \(m=-\frac{9}{2}\) Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3Đây là một số công thức giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán trắc nghiệm một cách nhanh chóng mà không cần phải tính toán phức tạp. Cho hàm số \( y= ax^3+bx^2+cx+d \) có hai điểm cực trị phân biệt là \( A,B \) . Khi đó:
\(\frac{2}{3}(c-\frac{b^2}{3a})x+(d-\frac{bc}{9a})\) Xem chi tiết >>> Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị hàm số bậc 3
\(AB=\sqrt{\frac{4e(4e^2+1)}{a}}\) với \(e=\frac{b^2-3ac}{9a}\) Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập về chuyên đề cực trị hàm số bậc 3 cũng như các phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề cực trị hàm số bậc 3. Chúc bạn luôn học tốt! Xem thêm >>> Tìm m để hàm số có 3 cực trị: Lý thuyết và Các dạng bài tập Please follow and like us:
Bài toán tổng quát: Cho hàm số $y=f\left( x;m \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$ Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $K$ cho trước? Phương pháp:
Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu) $\Leftrightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt và${y}'$đổi dấu qua 2 nghiệm đó $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 3a \ne 0\\ {\Delta _{y'}} = {B^2} - 4AC = 4{b^2} - 12ac > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ {b^2} - 3ac > 0 \end{array} \right. \Rightarrow m \in {D_1}.$ Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${y}'=0.$ Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \frac{B}{A} = - \frac{{2b}}{{3a}}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} = \frac{c}{{3a}} \end{array} \right..$ Biến đổi điều kiện $K$ về dạng tổng $S$ và tích $P$. Từ đó giải ra tìm được $m\in {{D}_{2}}.$ Kết luận các giá trị m thỏa mãn: $m={{D}_{1}}\cap {{D}_{2}}.$ * Chú ý: Hàm số bậc ba:$\text{ }y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a\ne 0 \right).$ Ta có: $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$
$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow A.C=3ac<0\Leftrightarrow ac<0.$
$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{y'}} > 0\\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{y'}} > 0\\ S = {x_1} + {x_2} = - \frac{B}{A} > 0\\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm âm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{y'}} > 0\\ S = {x_1} + {x_2} = - \frac{B}{A} < 0\\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0 \end{array} \right.$
$\left\langle \begin{array}{l} {x_1} < \alpha < {x_2}\\ {x_1} < {x_2} < \alpha \\ \alpha < {x_1} < {x_2} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-\alpha \right)\left( {{x}_{2}}-\alpha \right)<0\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}-\alpha \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{\alpha }^{2}}<0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {{x_1} - \alpha } \right)\left( {{x_2} - \alpha } \right) > 0\\ {x_1} + {x_2} < 2\alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1}.{x_2} - \alpha \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\alpha ^2} > 0\\ {x_1} + {x_2} < 2\alpha \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {{x_1} - \alpha } \right)\left( {{x_2} - \alpha } \right) > 0\\ {x_1} + {x_2} > 2\alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1}.{x_2} - \alpha \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\alpha ^2} > 0\\ {x_1} + {x_2} > 2\alpha \end{array} \right.$
khi có 1 nghiệm là$x=\frac{-b}{3a}$, có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là $x=-\sqrt[3]{\frac{d}{a}}$ . |