Có bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho 8 5 2 4 yxmxmx 2 4 1 đạt cực tiểu tại x 0
|
Đáp án: Show 6 giá trị Lời giải: Xét hàm số $y = x^8 + (m-3)x^5 - (m^2-9)x^4 + 1$ Khi đó $y' = 8x^7 + 5(m-3)x^4 - 4(m^2-9)x^3$ $= x^3[8x^4 + 5(m-3)x - 4(m^2-9)]$ Ta thấy $x = 0$ là nghiệm bội 3, là bội lẻ của phương trình $y' = 0$, do đó $x = 0$ là một điểm cực trị của hàm số. Ta đặt $g(x) = 8x^4 + 5(m-3)x - 4(m^2-9)$ TH1: $g(x) = 0$ có nghiệm $x = 0$ suy ra $m \pm 3$. Với $m = 3$ thì $x = 0$ là nghiệm bội $4$ của $g(x)$, suy ra $x = 0$ là nghiệm bội $7$ của $y'$ và $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x = 0$ nên $x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy $m = 3$ thỏa mãn yêu cầu. Với $m = -3$ thì ta có $g(x) = 8x^4 - 30x$ Khi đó phương trình $g(x) =0$ có nghiệm $x = 0$ hoặc $x = \sqrt[3]{\dfrac{15}{4}}$. Nên $y'=0$ có nghiệm $x=0$ là nghiệm bậc 4 nên $x=0$ không là cực trị Ta có bảng biến thiên( như hình vẽ) Ta thấy $x = 0$ không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy $m =-3$ không thỏa mãn. TH2: $g(x) \neq 0$ hay $m \neq \pm 3$. Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ thì $g(0) > 0$ hay $m^2 - 9 < 0$ Suy ra $m \in (-3, 3)$. Do đó $m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Kết hợp cả hai trường hợp ta có $m \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. Vậy có $6$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số (m ) để hàm số (y = (x^8) + ( (m - 2) )(x^5) - ( ((m^2) - 4) )(x^4) + 1 ) đạt cực tiểu tại (x = 0 )?Câu 33106 Vận dụng cao Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 2} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\)? Đáp án đúng: c Phương pháp giải Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow y'\) có nghiệm \(x = 0\) và \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm \(x = 0\) Tìm điều kiện của tham số để hàm số nhận điểm cho trước làm điểm cực trị --- Xem chi tiết
TH1: Xét \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\) +) Khi m = 1 ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3}(8{x^4} + 10x) = {x^4}(8{x^3} + 10) \Rightarrow x = 0\) là nghiệm bội \(4 \Rightarrow x = 0\) không là cực trị của hàm số. +) Khi m = - 1ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3}.8{x^4} = 0 \Leftrightarrow 8{x^7} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) là nghiệm bội lẻ \( \Leftrightarrow x = 0\) là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa qua điểm x = 0 thì y' đổi dấu từ âm sang dương nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số. TH2: Xét \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\) ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left[ {8{x^5} + 5(m + 1){x^2} - 4({m^2} - 1)x} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 0\\ 8{x^5} + 5(m + 1){x^2} - 4({m^2} - 1)x = 0 \end{array} \right.\) \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) là nghiệm bội chẵn không là cực trị của hàm số, do đó cực trị của hàm số ban đầu là nghiệm của phương trình \(g(x) = 8{x^5} + 5(m + 1){x^2} - 4({m^2} - 1)x = 0\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow g'(0) > 0\) Ta có \(g'(x) = 40{x^4} + 10(m + 1)x - 4({m^2} - 1)\) \( \Rightarrow g'(0) = - 4({m^2} - 1) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\) Vậy kết hợp 2 trường hợp ta có \( - 1 \le m < 1\) Do \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\) Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải ADSENSE/ Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài CÂU HỎI KHÁC
UREKA_VIDEO-IN_IMAGE
 |
