Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoàn [

+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

+) Cô lập \(m\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3{x^2} - 4x - 2m + 5\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x - 2m + 5 \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 5 \ge 2m\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 5\) ta có \(g'\left( x \right) = 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\).

Ta có: \(g\left( 0 \right) = 5;\,\,g\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{3};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = \dfrac{{11}}{3}\).

\( \Rightarrow 2m \le \dfrac{{11}}{3} \Leftrightarrow m \le \dfrac{{11}}{6}\), mặt khác \(m \in \left[ { - 2018;2019} \right],\,\,m \in \mathbb{Z}\).

\( \Rightarrow m \in \left[ { - 2018;1} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) Có 2020 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x - 2m + 5 \ge 0{\rm{ ,}}\forall x \in \left( {{\rm{0; + }}\infty } \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x \ge 2m - 5{\rm{ ,}}\forall x \in \left( {{\rm{0; + }}\infty } \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x\) trên \(\left( {0{\rm{; + }}\infty } \right)\), ta có \(f'\left( x \right) = 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\)

Vẽ bảng biến thiến

Từ bảng trên suy ra \(3{x^2} - 4x \ge 2m - 5{\rm{ ,}}\forall x \in {\rm{ }}\left( {{\rm{0; + }}\infty } \right)\) \( \Leftrightarrow 2m - 5 \le - \frac{4}{3} \Leftrightarrow m \le \frac{{11}}{6}\).

Do m nguyên và \(m \in \left[ { - 2018{\rm{ ; 2019}}} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2018; - 2017; - 2016,....,0,1} \right\}\)