Câu 25. cho ab 0 và một điểm c. có bao nhiêu điểm d thỏa mãn ab cd ? a. 1. b. 2. c. 0. d. vô số.

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a. b, được xác định bởi công thức sau: a.b = |a|.|b|cos(a,b) Các tính chất của tích vô hưổng Với ba vectơ a, b, C bất kì và mọi số k ta có: a.b = b.a (tính chất giao hoán); a.(b + c) = a.b + a.c (tính chất phân phối); (ka).b = k(a.b) = a.(kb); -2 _ -.2 _ - a > 0, a=0 o a = 0. Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 ; (a-b)2 =a2-2.a.b + b2; (a + b).(a- b) = a2 -E)2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Cho a - (ai ; a2), b = (bi; b2) a.b = a1b1+a2b2 Nhận xét: a, b đều khác ỏ thì a 1 b a1b1 +a2b2 = 0 4. ứng dụng Độ dài của vectơ Cho a = (ai; a2) thì la! = ựa2 + a2 Góc giữa hai vectơ Cho a = (ai; a2), b= (bi; b2) đều khácõ Khi đó cos(a,b) : a.b a1b1 + a2b2 |b| +a2.ựbf +b Khoảng cách giữa hai điểm Cho A(xa; Ya) và B(xb; Yb) AB = ự(xB-XA)2+(yB-yA)2. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích võ hướng AB.AC, AC.CB. 2. Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA.OB trong hai trường hợp: Điểm o nằm ngoài đoạn AB; Điểm o nằm trong đoạn AB. tỹiải Khi o nằm ngoài đoạn AB ta có: Q Ạ B OA.OB = a.b.cosO0 = a.b Khi o nằm giữa hai điểm A và B ta có: ÕẨ.ÕB = a.b.cosl80° = -a.b * 2 ? Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa dường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I. Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA; Hãy dùng kết quả câu a) để tính AI.AM+ BI.BN theo R. tỹiải a) Ta có AI.AM = AI.AM.COS(AI.AM) = AI.AM.cosO0 = AI. AM và AI.AB = AI.AB. cos IAB AM = AI.AB.^= AI.AM AB Từ (1) và (2) suy ra ÃĨ.ĂM = ÃỈ.ÃB Tương tự BI.BN = BI.BN BI.BA = BI.BA.COSÍBẦ BN " = BI.BA.^-= BI.BN BA Từ đó suy ra BI.BN = BI.BA . * Cách khác: Ta có: ÃỈ.ÃM-ÃỈ.ĂB = ÃỈ(ÃM - Ãẽ) = AI.BM = 0 (vì Ãỉ 1 BM ) => ÃĨ.ÃM = ÃĨ.ÃB Tương tự: BI.BN = BI.BA. b) Ap dụng câu a) ta có ALAM + BI.BN = AI.AB + BỈ.BÁ = AI.AB + IB.AB = AB.(AI + IB) = AB2 = 4R2 Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2). Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB; Tính chu vi tam giác OAB; Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đố tính diện tích tam giác OAB. (ỹiẦi a) Giả sử D(xd; 0) nằm trên trục Ox. Ta có: DA = DB DA2 = DB2 o (1 - XD)2 + 32 = (4 - XD)2 + 22 X2 - 2xd + 1 + 9 = Xp - 8xd + 16 + 4 XD = VâyD(|;o]. Ta có: OA = 7l2 +32 = 7ĨÕ ; OB = V42 + 22 = 720 AB = ự(4 -1)2 + (2 - 3)2 = 7ĨÕ Chu vi tam giác OAB là: 2p = OA + OB + AB = 7ĨÕ + 720 + 7ĨÕ = 27ĨÕ + 72.7ĨÕ = 7ĨÕ(2 + 72) Vì OA = AB = 7ĨÕ và OB = 720 nên OB2 = OA2 + AB2 Vậy tam giác OAB vuông cân tại A. Diện tích tam giác OAB là: s = OA.AB = i.TĨÕ.TĨÕ = 5 (đvdt). 2 2 * Cách khác: Ta có ÕA = (1; 3); ÃB = (3; -1) => ÕẨ . Ãỗ = 1.3 - 3.1 = 0 => OA ± AB. Trên mặt phẳng Oxy hãy tinh góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau : ă = (2; -3), b = (6; 4); ã= (3; 2), b = (5; -1); a = (-2; -2^3), b= (3; 73 ). Ta có: a Ta có: a . b = 2.6 + -3.4 = 0 => a 1 b hay (a, b ) = 90°. . b = 3.5 + 2.(-l) = 13 |ẵ| = 732 + 22 = 7Ĩ3 ; |b| = 726 => cos(a,b) - f, a.b 13 ,|b| 713.726 7Ĩ3.713.72 72 1 ^(a,b) = 45° a.b = (-2).3 + (-2731.73 =-6 - 6 =-12 |a| = 4; |b| = 2.73 => cos(a,b) = a'b = 12 = => (a, b) = 150° . ;.b 4.273 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(7; -3); B(8; 4); C(1; 5); D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông. Ta có: |Ãb| = ự(8 - 7)2 + (4 + 3)2 =750 = 572 |bc| = 7(1 - 8)2 + (5 - 4)2 = 750 = 572 |cd| = 7(0 - l)2 + (-2 - 5)2 = 750 = 572 |ÕÃ| = y/72 + (-1)2 = 750 = 572 => AB = BC = CD = DA nên tứ giác ABCD là hình thoi. Mặt khác ÃB= (1; 7); ÃD = (-7; 1) nên Ãẽ.ÃD= l.(-7) + 7.1 = 0 AB 1 AD Vậy hình thoi ABCD có một góc vuông nên tứ giác ABCD là hình vuông. Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A( 2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ o. Tìm tọa độ của điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c. $úỉi Ta có B(2; -1) là điểm đỗì xứng với A qua o. Gọi C(x; 2) ta có: CA = (-2 - x; -1); CB = (2 - x; -3) AABC vuông tại c CA.CB =0 (-2 - x)(2 - x) + 3 = 0 X2 - 1 X = ±1 Vậy có hai điểm cần tìm là: C(l; 2) và C'(-l; 2). c 1. 2. 3. 4. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, Â = 60° a) Tính AB.CA ; b) Tính BC. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm o. Tính AB.AC và AO.BC Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 6, CA = 8. a) Tính AB.AC và góc A. b) Tính độ dài trung tuyến AM. c) Xác định điểm I thỏa 5IA + 3IC = õ. d) Tính AB.IA và BI. Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 4, CA = 6. Tính AB.BC + BC.CA + CA.AB . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng: GA2 + GB2 + GC2 = (a2 + b2 + c2). 3 Wert*? dắt: GA2= |aM2=|.ỉ(ÃB + ÃC)2 =j(b2+c2+2ÃB.ÃC) Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho: (mã + 2MB).(mC + 3MD) = 0 dẩti.: Gọi I, J là điểm thỏa: IA + 2IB = õ và JC + 3JD = õ Tập hợp M là đường tròn đường kính IJ.