Black Litterman model là gì

Black-Litterman có thể được coi là bản sao nâng cấp của Markowitz portfolio optimization khi tận dụng được kĩ thuật gọi là reverse optimization cũng như cho phép người dùng đưa ra views của mình vào trong quá trình tối ưu hóa danh mục đầu tư cho các Asset class.

Ở series bài viết này, mình sẽ hướng dẫn chi tiết nền tảng lý thuyết của mô hình này cũng như cách implemennt nó trong thực tiễn. Vì phần Black-Litterman này có rất nhiều công thức toán nên mình sẽ dùng chữ viết tay thay cho Latex để tiết kiệm thời gian. Bản có công thức đầy đủ dạng Latex sẽ được cung cấp ở các phần sau

1. CAPM

Xuất phát điểm của Black-Litterman là mô hình CAPM. Như chúng ta đã biết, CAPM có dạng như sau:

Ở trong thế giới của CAPM, mọi nhà đầu tư đều nên giữ 1 risky portfolio duy nhất, đó là CAPM market portfolio [gọi ngắn gọi là market portfolio]. Bản chất của Black-Litterman đó là dựa vào market làm điểm cân bằng, vì vậy chúng ta sẽ bắt đầu với CAPM market portfolio. Bởi thị trường sẽ quyết định điểm cân bằng dựa vào lực cung và lực cầu, chúng ta sẽ có weight của từng asset class dựa vào CAPM market portfolio. Thường thì với CAPM, nhà đầu tư sẽ cho rằng Sharpe ratio của market portfolio là cao nhất.

2. Reverse Optimization

Cách tiếp cận của Black-Litterman khác so với mean-variance optimization ở chỗ, Black-Litterman sẽ dùng market portfolio weights là inputs và tính toán implied equilibrium return.

Như đã đề cập ở phần trên, khi thị trường phân bổ tiền vào các tài sản khác nhau [có thể hiểu là market capitalization chính là phần phân bổ đấy] thì chúng ta sẽ có weight của từng asset class tại 1 thời điểm nhất định. Sau đó dùng weight này chúng ta sẽ tính được implied return của từng tài sản. Nhắc lại 1 chút đó là mô hình CAPM, investor có một thước đo độ hạnh phúc/sướng/ hay bất kì thứ gì liên quan đến độ thỏa mãn gọi là utility. Bài toán đầu tiên là tìm cách tối ưu hóa lượng utility này. Bản thân utility sẽ có 1 số dạng nhất định, dạng quen thuộc nhất sử dụng trong CAPM là dạng quadratic utility như sau:

Chúng ta sẽ tìm cực trị/solution của quadratic utility function bằng cách lấy gradient theorồi cho bằng 0 để giải. kết quả chúng ta được closed-form solution dạng như bên dưới

Mục đích của tối ưu hóa trên đó là tìm rahay còn gọi là implied excess return của equilibrium dựa vào weight của từng asset class được lấy trực tiếp từ thị trường. Cần lưu ý là tham sốở trên là số tĩnh/constant. Tức là solution của optimization sẽ không ảnh hưởng bởi cách chọn. Tuy nhiên điểm hay của CAPM đó là cho phép chúng ta tính tham sốdựa vào công thức CAPM gốc như bên dưới. Có thể hiểu chức năng củalà thể hiện cách hành xử của investors ở các thị trường. Công thức gốc của Black-Litterman để tham số này ở mức 2.4.

Cần lưu ý là ở công thức trênlà hệ số regression coefficient giữa asset return và market return.vàđơn giản là vector của return và transpose của nó nên chúng ta cóchính bằng covariance matrix.được tính dựa trêncủa toàn thị trường hay market portfolio chứ không phải của từng asset class. Kết quả cuối cùng là vector. Để minh họa, chúng ta có ví dụ sau:

Giả sử có 4 tài sản lần lượt là equity, bond, currency và commodity với các ước lượng như sau:

Sau khi tính toán sử dụng closed-form solution dựa vào CAPM, chúng ta được solution cuối cùng chonhư sau:

Tôi sẽ kết thúc bài viết này ở đây. Kĩ thuật reverse optimization đơn giản là sử dụng weights/market capitalization của từng asset class, sau đó dùng/ước lượng 1 con số cụ thể cho risk aversion parameter

Ở bài viết sau tôi sẽ tiếp tục trình bày chi tiết cách investor đưa views vào trong mô hình thông qua các kĩ thuật bayesian. Công thức master của Black-Litterman cũng sẽ được trình bày và chứng minh ở các phần sau.