Bài 27 sbt trang 41 toán 7 tập 2 năm 2024

Bài 24: Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tổng AC + CB là nhỏ nhất.

Lời giải:

Giả sử C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d.

Vì C nằm giữa A và B nên ta có:

AC + CB = AB [1]

Lấy điểm C' bất kỳ trên d [C' ≠ C]

Nối AC', BC'

Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác vào ΔABC', ta có:

AC' + BC' > AB [2]

Từ [1] và [2] suy ra:

AC' + C'B > AC + CB.

Vậy C là điểm cần tìm.

Bài 25: Ba thành phố A, B, C trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác, trong đó AC = 30km, AB = 70km.

  1. Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 40km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
  1. Cũng như câu hỏi trên với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 100km.

Lời giải:

Để biết thành phố B có nhận được tín hiệu không thì phải tính được khoảng cách giữa hai thành phố B và C.

Sử dụng bất đẳng thức của tam giác và hệ quả vào ΔABC, ta có:

AB - AC < BC < AB + AC [1]

Thay các giá trị AB = 70km, AC = 30km vào [1], ta có:

70 - 30 < BC < 70 + 30 ⇔ 40 < BC < 100

  1. Vì BC > 40 nên máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 40km thì B không nhận được tín hiệu.
  1. Vì BC < 100 nên máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 100km thì B nhận được tín hiệu.

Bài 26: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.

Lời giải:

Trong ΔABD, ta có:

AD < AB + BD [bất đẳng thức tam giác] [1]

Trong ΔADC, ta có:

AD < AC + DC [bất đẳng thức tam giác] [2]

Cộng từng vế [1] và [2], ta có:

2AD < AB + BD + AC + DC ⇔ 2AD < AB + AC + BC

Vậy AD < [AB + AC + BC] / 2 .

Bài 27: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng tổng MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC.

Lời giải:

Trong ΔAMB, ta có:

MA + MB > AB [bất đẳng thức tam giác] [1]

Trong ΔAMC, ta có:

MA + MC > AC [bất đẳng thức tam giác] [2]

Trong ΔBMC, ta có:

MB + MC > BC [bất đẳng thức tam giác] [3]

Cộng từng vế [1], [2] và [3], ta có:

MA + MB + MA + MC + MB + MC = AB + AC + BC

⇔ 2[MA + MB + MC] > AB + AC + BC

Vậy MA + MB + MC > [AB + AC + BC] / 2 .

Bài 28: Tính chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó bằng 3dm và 5dm.

Lời giải:

* Trường hợp cạnh bên bằng 3dm:

Ta có: 3 + 3 > 5: tồn tại tam giác có các cạnh với số đo như trên.

Chu vi tam giác cân là: 3 + 3 + 5 = 11 [dm]

* Trường hợp cạnh bên bằng 5dm:

Ta có: 5 + 5 > 3: tồn tại tam giác có các cạnh với số đo như trên.

Chu vi tam giác cân là: 5 + 5 + 3 = 13 [dm]

Bài 29: Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7cm và 2cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo cm là một số tự nhiên lẻ.

Trong \[∆AMB\] ta có:

\[MA + MB > AB\] [bất đẳng thức tam giác] [1]

Trong \[∆AMC\] ta có:

\[MA + MC > AC\] [bất đẳng thức tam giác] [2]

Trong \[∆BMC\] ta có:

\[MB + MC > BC\] [bất đẳng thức tam giác] [3]

Cộng từng vế của [1], [2] và [3] ta có:

\[2[MA + MB + MC] \]\[> AB + AC + BC\]

Suy ra: \[\displaystyle MA + MB + MC \]\[\displaystyle > {{AB + AC + BC} \over 2}\]

Hướng dẫn giải

Sử dụng: Trong một tam giác:

+] Hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại

+] Độ dài một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại

+] Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh của tam giác đó

Lời giải chi tiết

Nửa chu vi tam giác \[ABC\] là: \[\displaystyle {{AB + AC + BC} \over 2}\]

Trong \[∆AMB\] ta có:

\[MA + MB > AB\] [bất đẳng thức tam giác] [1]

Trong \[∆AMC\] ta có:

\[MA + MC > AC\] [bất đẳng thức tam giác] [2]

Trong \[∆BMC\] ta có:

\[MB + MC > BC\] [bất đẳng thức tam giác] [3]

Cộng từng vế của [1], [2] và [3] ta có:

\[MA + MB + MA + MC + MB + MC\]\[ > AB + AC + BC\]

Hay \[2[MA + MB + MC] \]\[> AB + AC + BC\]

Suy ra: \[\displaystyle MA + MB + MC \]\[\displaystyle > {{AB + AC + BC} \over 2}\]

-- Mod Toán 7 HỌC247

Chủ Đề