Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Chứng minh các đẳng thức sau:
LG a
\[\left [ \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ]. \left [ \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right ]^{2}= 1\] với \[a 0\] và \[a 1\]
Phương pháp giải:
+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.
+ \[\sqrt{A^2}=|A|\].
+ \[|A|=A \] nếu \[A \ge 0\],
\[|A|=-A\] nếu \[A < 0\].
+ Sử dụng các hằng đẳng thức:
\[a^2+2ab+b^2=[a+b]^2\]
\[a^2- b^2=[a+b].[a-b]\].
\[a^3- b^3=[a-b][a^2+ab+b^2]\].
Lời giải chi tiết:
Biến đổi vế trái để được vế phải.
Ta có:
\[VT=\left [ \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ]. \left [ \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right ]^{2}\]
\[=\left [ \dfrac{1-[\sqrt{a}]^3}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ]. \left [ \dfrac{1-\sqrt{a}}{[1-\sqrt a][1+ \sqrt a]} \right ]^{2}\]
\[=\left [ \dfrac{[1-\sqrt{a}][1+\sqrt a+[\sqrt a]^2]}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ].\left [ \dfrac{1}{1+ \sqrt a} \right ]^{2}\]
\[=\left [ [1+\sqrt a+[\sqrt a]^2] +\sqrt{a}\right ]. \dfrac{1}{[1+ \sqrt a]^2}\]
\[=\left [ [1+2\sqrt a+[\sqrt a]^2]\right ]. \dfrac{1}{[1+ \sqrt a]^2}\]
\[=[1+\sqrt a]^2. \dfrac{1}{[1+ \sqrt a]^2}=1=VP\].
LG b
\[\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}} = \left| a \right|\]với \[a + b > 0\] và \[b 0\]
Phương pháp giải:
+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.
+ \[\sqrt{A^2}=|A|\].
+ \[|A|=A \] nếu \[A \ge 0\],
\[|A|=-A\] nếu \[A < 0\].
+ Sử dụng các hằng đẳng thức:
\[a^2+2ab+b^2=[a+b]^2\]
\[a^2- b^2=[a+b].[a-b]\].
\[a^3- b^3=[a-b][a^2+ab+b^2]\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[VT=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}\]
\[=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{[ab^2]^2}{[a+b]^2}}\]
\[=\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{\sqrt{[ab^2]^2}}{\sqrt{[a+b]^2}}\]
\[=\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{|ab^2|}{|a+b|}\]
\[=\dfrac{a+b}{b^{2}}.\dfrac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP\]
Vì \[a+b > 0 \Rightarrow |a+b|=a+b\].