Đề bài
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
\[ab\sqrt{\dfrac{a}{b}};\,\,\, \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\dfrac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}.\]
[Giả thiết các biểu thức có nghĩa].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các công thức sau:
+ \[\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\], với \[a \ge 0,\ b > 0 \].
+ \[\sqrt{a^2}=|a|\]
+ Nếu \[a \ge 0\] thì \[|a|=a\]
+ Nếu \[ a < 0 \] thì \[|a|=-a\]
+ \[\dfrac{a}{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}{b}\], \[[b > 0]\].
Lời giải chi tiết
Theo đề bài các biểu thức đều có nghĩa.
+ Ta có
\[ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=ab\sqrt{\dfrac{a.b}{b.b}}=ab\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.\]
*] Nếu \[ b > 0\] thì \[|b|=b \Rightarrowab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=a\sqrt{ab}\].
*] Nếu \[ b < 0\] thì \[|b|=-b \Rightarrowab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=-ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=-a\sqrt{ab}\].
+ Ta có:
\[ \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b.a}{a.a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}\]
\[=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}\]\[=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}\]\[=\dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}\]
*] Nếu\[a> 0\]thì \[ |a|=a \Rightarrow\dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}.\]
*] Nếu\[a 0\] thì \[|b|=b \Rightarrow\dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}\].
*] Nếu \[-1 \le b < 0\] thì \[|b|=-b \Rightarrow\dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=-\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}\].
+ Ta có:
\[\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}=\sqrt{\dfrac{9}{36}}.\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}.\sqrt{\dfrac{a^3.b}{b.b}}\]
\[=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{a^2.ab}{b^2}}\]\[=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{a^2}.\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}\]
\[=\dfrac{1}{2}.\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{|b|}=\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}\].
*] Nếu \[a \ge 0,\ b > 0\] thì \[|a|=a,\ |b| =b \Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}\].
*] Nếu \[a < 0,\ b < 0\] thì \[|a|=-a,\ |b| =-b \Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}\].
[Chú ý: Theo đề bài\[\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}\] có nghĩa nên \[a,\ b\] cùng dấu, do đó chỉ cần xét 2 trường hợp \[a,\ b\] cùng âm hoặc cùng dương].
+ Ta có:
\[3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}=3xy.\sqrt{\dfrac{2.xy}{xy.xy}}=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{\sqrt{[xy]^2}}\]
\[=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{|xy|}\] \[=\dfrac{3xy.\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}\].
[Vì theo đề bài \[\sqrt{\dfrac{2}{xy}}\] có nghĩa nên \[\dfrac{2}{xy} > 0 \Leftrightarrow xy > 0 \Rightarrow |xy|=xy\].]
Logiaihay.com