Trực tâm là gì trong tam giác khái niệm quen thuộc trong bộ môn hình học. Trong bài viết này, GiaiNgo sẽ giúp bạn xác định trực tâm trong 3 loại tam giác thường gặp.
Tính chất trực tâm trong tam giác là chủ đề quan trọng trong kiến thức Toán học. Nội dung chi tiết mời các bạn cùng GiaiNgo tham khảo bài viết trực tâm là gì?
Trực tâm là gì?
Trực tâm là gì?
Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm.
Được tài trợ
Đường cao tam giác là đường vuông góc nối từ đỉnh tới cạnh đối diện của tam giác đó. Mỗi tam giác có 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh và cạnh đối diện.
Ví dụ: Tam giác ABC có ba đường cao là AM, BN, CP. Gọi H là giao điểm của ba đường cao trên thì H là trực tâm của tam giác ABC.
Được tài trợ
Tính chất trực tâm
Tính chất trực tâm trong tam giác là tài liệu rất hữu ích mà hôm nay GiaiNgo muốn giới thiệu đến các bạn lớp 7 tham khảo.
- Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm.
- Trực tâm tam giác vuông chính là đỉnh góc vuông của tam giác vuông đó.
- Trong tam giác cân thì đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của đỉnh tam giác cân đó.
- Trong tam giác đều, trực tâm cũng đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.
- Trực tâm nằm ở vùng phía trong 1 tam giác, nếu nó là tam giác nhọn.
- Trực tâm nằm ở vùng ngoài tam giác nếu nó là tam giác tù.
- Theo định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
Sau khi hiểu rõ về trực tâm là gì và tính chất của nó thì cùng GiaiNgo đến cách xác định trực tâm trong 3 loại tam giác nhé!
Hướng dẫn cách xác định trực tâm
Đối với mỗi loại tam giác sẽ có vị trí và cách xác định trực tâm khác nhau:
Trực tâm trong tam giác nhọn
Đầu tiên, cùng GiaiNgo điểm qua trực tâm là gì trong tam giác nhọn ngay nhé!
Trực tâm nằm ở miền trong tam giác nhọn.
Ví dụ: Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.
Trực tâm trong tam giác vuông
Tiếp theo, cùng GiaiNgo điểm qua trực tâm là gì trong tam giác vuông có gì khác biệt ngay nhé!
Trực tâm trong tam giác vuông chính là đỉnh góc vuông.
Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.
Trực tâm trong tam giác tù
Cuối cùng, trực tâm là gì trong tam giác tù có gì đặc biệt, tìm hiểu thôi nào!
Trực tâm trong tam giác tù là nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác.
Bài tập liên quan đến trực tâm
Qua những câu hỏi trên chắc hẳn bạn đã hiểu rõ các khái niệm và tính chất trực tâm là gì trong tam giác. Vậy cùng GiaiNgo củng cố kiến thức qua một số bài tập liên quan đến trực tâm là gì nhé!
Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.
ΔHBC có :
- AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.
- BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC.
- CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.
Mà AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.
Bài 23 trang 65 Hình học 10 Nâng cao
Gọi H là trực tâm của tam giác không vuông ABC. Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Trường hợp 1: Tam giác ABC có ba góc nhọn.
Gọi R, R1 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, HBC.
Áp dụng định lí sin ta có:
Do đó 2R=2R1 ⇒ R=R1.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tương tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HCA,HAB bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trường hợp 2: Tam giác ABC có góc tù.
⇒ R = R1
Tương tự ta chứng minh được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HCA,HAB bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 70 trang 50 Sách Bài Tập Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại B. Điểm nào là trực tâm của tam giác đó?
Hướng dẫn giải:
∆ABC vuông tại B => AB⊥BC nên AB là đường cao từ đỉnh A.
⇒CB⊥AB nên CB là đường cao kẻ từ đỉnh C.
B là giao điểm của 2 đường cao AB và CB. Vậy B là trực tâm của ∆ABC.
Câu 71 trang 50 Sách Bài Tập Toán lớp 7 tập 2
a] Chứng minh rằng: CI⊥AB.
b] Cho ˆACB=40. Tính ˆBID,ˆDIE
Hướng dẫn giải:
a] Trong ∆ABC ta có hai đường cao AD và BE cắt nhau tại I nên I là trực tâm của ∆ABC
⇒⇒ CI là đường cao thứ ba
Vậy CI⊥ABCI⊥AB
b] Áp dụng trực tâm là gì trong tam giác vuông BEC có:
ˆBEC=90∘
⇒ˆEBC+ˆC=90∘ [tính chất tam giác vuông]
⇒ˆEBC=90∘−ˆC=90∘−40∘=50∘ hay ˆIBD=50∘
Trong tam giác IDB có ˆIDB=90∘
⇒ˆIBD+ˆBID=90∘ [tính chất tam giác vuông]
BID^=90∘−IBD^=90∘−50∘=40∘
BID^+DIE^=180∘ [2 góc kề bù]
⇒ˆDIE=180∘−ˆBID=180∘−40∘=140∘
Bài viết trên đã tóm tắt khái niệm trực tâm là gì trong tam giác và một số tính chất của nó. Hy vọng với những kiến thức tổng hợp trên sẽ hữu ích với độc giả. Nếu thấy hay nhớ like và chia sẻ giúp GiaiNgo nhé!
Tính chất trực tâm trong tam giác là tài liệu rất hữu ích mà hôm nay christmasloaded.com muốn giới thiệu đến các bạn học sinh lớp 7 tham khảo.
Bạn đang xem: Trực tâm của tam giác vuông ở đâu
Tài liệu bao gồm toàn bộ kiến thức lý thuyết và các dạng bài tập về tính chất trực tâm của tam giác. Đây là chủ đề quan trọng trong kiến thức Toán học đối với các em học sinh. Nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.1. Khái niệm Trực tâm 2. Khái niệm đường cao của một tam giác 3. Tính chất ba đường cao của tam giác4. Bài tập thực hành có đáp án5. Bài tập tự luyện
Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.
+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đóĐoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao.- Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Trong hình ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.
- Ba đường cao của tam giác bao gồm các tính chất cơ bản sau:*Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.*Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.*Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.*Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.*Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
*Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Xem thêm: Top 10 Địa Chỉ Mua Bánh Tét Lá Cẩm Cần Thơ Bán Ở Đâu Tại Tp, Bánh Tét Lá Cẩm Cần Thơ Bán Ở Đâu Tại Tp
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.Bài làmVì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác ABC.Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABCSuy ra CH là đường cao của tam giác ABCVậy CH vuông góc với AB.4. Bài tập thực hành có đáp án
Bài 1Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.GIẢI+ Xét ΔABC vuông tại AAB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh ABhay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.Mà AB cắt AC tại A⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF [E thuộc AB, F thuộc AC], trực tâm H.+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó
GIẢIa] Trong ΔMNL có:LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm SNên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.hay SN ⊥ ML.b]+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :ΔNMQ vuông tại Q có: