Gọi zz 1 2 là hai nghiệm phức của phương trình zz 2 2 4 0 khi đó azz 1 2 2 2 có giá trị là

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHKHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPSỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ NGHIÊN CỨUCÁC PHÉP BIẾN ĐỔI MOBIUSGVHDSVTH: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện:Võ Thanh HảiThành phố Hồ Chí Minh - 2012Mục LụcLời mở đầu........................................................................................................................... 1CHƯƠNG 1 :MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN ........................................................... 2I. TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC ...................................................................................... 21. Biễu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ. ............................................................... 22. Tọa độ liên hợp. ...................................................................................................... 23. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức. ............................................................. 24. Vectơ và số phức. .................................................................................................... 25. Các phép toán số phức. ............................................................................................ 36. Căn bậc n của đơn vị. ............................................................................................... 5II. NHỮNG PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN ...................................................................... 51. Phép biến hình. ........................................................................................................ 52. Phép tịnh tiến........................................................................................................... 63. Phép quay. ............................................................................................................... 64. Phép vị tự. ............................................................................................................... 65. Hệ thức giữa ba điểm. ............................................................................................. 76. Đối xứng trục .......................................................................................................... 77. Phép nghịch đảo. ..................................................................................................... 88. Điểm vô tận trong mặt phẳng Gauss. ...................................................................... 89. Tích của các phép biến hình. .................................................................................... 810. Phép đối hợp......................................................................................................... 10III. TỈ SỐ KÉP ............................................................................................................... 101. Định nghĩa và giải thích. ....................................................................................... 102. Các tính chất. ......................................................................................................... 113. Trường hợp có một điểm ở vô tận......................................................................... 114. Tỉ số kép thực. ....................................................................................................... 12IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN ................................................................. 121. Đường thẳng ........................................................................................................... 122. Đường tròn ............................................................................................................ 14Chương 2:NHỮNG PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN........................................................... 15I. NHỮNG TÍNH CHẤT CHUNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN ............................. 151. Định nghĩa. ............................................................................................................. 152. Xác định một phép biến đổi tròn. ........................................................................... 163.Tính bất biến của tỉ số kép. ..................................................................................... 184. Phép biến đổi tròn. ................................................................................................. 195. Sự bảo toàn góc. ..................................................................................................... 196. Tích hai phép biến đổi tròn. ................................................................................... 207. Nhóm tròn của mặt phẳng. ..................................................................................... 218. Định nghĩa. ............................................................................................................. 21II. PHÉP ĐỒNG DẠNG ............................................................................................... 211. Định nghĩa. ............................................................................................................. 212. Các tính chất. .......................................................................................................... 223. Tâm của phép đồng dạng. ...................................................................................... 234. Xác định một phép đồng dạng. .............................................................................. 245. Nhóm các phép tịnh tiến. ....................................................................................... 256. Nhóm các phép dời hình. ....................................................................................... 257. Nhóm các phép tịnh tiến và các phép vị tự. ........................................................... 268. Đồng dạng hoán vị. ................................................................................................ 279. Đồng dạng đối hợp. ............................................................................................... 27III. PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN KHÔNG ĐỒNG DẠNG. ................................................ 281. Các điểm giới hạn. ................................................................................................. 282. Các điểm bất biến. ................................................................................................. 293. Phân tích một phép biến đổi tròn khác phép đồng dạng. ....................................... 324. Định nghĩa. ............................................................................................................. 32IV. PHÉP ĐỐI HỢP MOBIUS ...................................................................................... 331. Phương trình. .......................................................................................................... 332. Điều kiện đủ. .......................................................................................................... 333. Các tính chất. .......................................................................................................... 334. Xác định một phép đối hợp. .................................................................................. 34CHƯƠNG 3:BÀI TẬP TỔNG HỢP .......................................................................... 36I. Một số vấn đề cơ bản. .................................................................................................... 361. Ứng dụng phép quay quanh một điểm. ...................................................................... 362. Điều kiện trực giao, thẳng hàng và đồng viên. ......................................................... 373. Tam giác đồng dạng. .................................................................................................. 394. Tam giác đều. ............................................................................................................. 405. Tích thực của hai số phức. ......................................................................................... 43II. Toán tổng hợp. .............................................................................................................. 44Tài liệu tham khảo ............................................................................................................. 70GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ ThanhLời mở đầuSố phức xuất hiện từ đầu thế kỉ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giảicác phương trình đại số. Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽvà giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học, kĩ thuật. Hình học xuất hiện trong cảToán học và Vật lí, thậm chí cả trong kinh tế cơ bản. Nhiều vấn đề của Hình học đượcđơn giản hóa một cách kì diệu khi nhìn dưới góc độ của số phức và việc ứng dụng sốphức vào nghiên cứu Toán học nói chung và Hình học nói riêng đã được tiến hành từlâu và đã thu được nhiều kết quả quan trọng.Trong đề tài của mình em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức trong hìnhhọc. Ở chương 1 là một số vấn đề lí thuyết cơ bản của số phức thường được sử dụngtrong việc giải toán hình học.Chương 2, tập trung trình bày các phép biến đổi tròn như : phép biến đổiMobius, nhóm các phép đồng dạng, phép biến đổi tròn không đồng dạng, phép đốihợp Mobius.Trong chương 3, em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức như phép quay,tích thực của các số phức,… vào việc giải các bài toán hình học phẳng.Trang 1GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiCHƯƠNG 1 :SVTH: Võ ThanhMỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢNI. TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC1. Biễu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ.Xét số phức z  x  iy [ x , y   ].Trong mặt phẳng cho hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc nhau. Điểm Z [x , y ] đượcgọi là điểm biểu diễn, hay là ảnh hình học [ảnh] của số phức z .Ngược lại, với mỗi điểm thực Z 1[x 1, y1 ] trong mặt phẳng tọa độ cho ta duy nhất mộtsố phức z 1  x 1  iy1 , z 1 được gọi là tọa độ phức của điểm Z 1 .Mặt phẳng mà trong đó mỗi điểm thực được xem như ảnh của một số phức đượcgọi là mặt phẳng Gauss, mặt phẳng Cauchy, hoặc là mặt phẳng biến phức.Hệ quả.10. Trục Ox là quỹ tích ảnh của các số thực. Trục Oy là quỹ tích ảnh của cácsố ảo. Đó là lí do tại sao Ox và Oy thỉnh thoảng được gọi là trục thực và trục ảo củamặt phẳng Gauss.20. Số –z là tọa độ phức của điểm đối xứng với điểm Z qua gốc tọa độ O.2. Tọa độ liên hợp.Số phức liên hợp với z  x  iy luôn xác định và được kí hiệu z  x  iy đọc là “z ngang”. Ảnh Z của số phức z là điểm đối xứng với điểm Z qua trục Ox .3. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức.Cho một số phức z  x  iy , ta có thể viết z ở dạng lượng giácz  r [cos q  i sin q ],trong đó r  x 2  y 2  [0, ] được gọi là mođun của z và q  [0, 2p] là số đo củagóc giữa vectơ OZ và trục Ox theo chiều dương được gọi là argument của z .* Sử dụng công thức Euler cos q  i sin q  e iqSố phức z  x  iy có thể được viết như sau z  re iq được gọi là dạng mũ của z .Khi z  0 , ta chọn r  0 và q tùy ý.Ta cóz  re iq .4. Vectơ và số phức.Ảnh Z của số phức z được xác định khi ta biết vectơ OZ , tọa độ vectơ của Z đốivới cực O . Khi đó nói rằng z được biểu diễn bởi vectơ này. Số phức và vectơ cóTrang 2GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanhmôđun bằng nhau và ta có thể nói rằng argument của số phức cũng chính là argumentcủa vectơ.5. Các phép toán số phức.5.1 Phép cộng.Nếu n số phức z k  x k  iyk [k  1, 2,.., n ] có n ảnh Z k thì tổng của chúng làz  z 1  z 2  ...  z n [1]có ảnh Z được xác định bởi phương trình hình  học OZ  OZ 1  OZ 2  ...  OZ n [2].Giả sử Z x , y  . Ta tìm tọa độ của Z dựavào phương trình [2]. Bằng cách lấy đại số trêntrục Ox , sau đó trên trục Oy , ta có được haiphương trình đại số x   x k , y = yk .Do đó x  iy   [x k  iyk ] , đây chính làphương trình [1].5.2 Phép trừ. Nếu các số phức z 1, z 2 được biểu thị bởi các vectơ OZ 1, OZ 2 thì hiệu sốz  z1  z 2được biểu thị bởi hiệu số hình học  OZ  OZ 1  OZ 2của những vectơ tương ứng.Ta có z  z 1  [z 2 ]  z 1  z 2 .Điểm Z 2 đối xứng với Z 2 qua O.Từ mục 5.1, ta có    OZ  OZ 1  OZ 2  OZ 1  OZ 2 [3]. Hệ quả. Phương trình [3] được viết lại OZ  Z 2Z 1 , vì vậy Z 2Z 1 giống như OZ biểuthị hiệu z 1  z 2 .5.3 Phép nhân.Trang 3GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ ThanhNếu các số phức z 1, z 2 được biểu thị bởi các vectơ OZ 1, OZ 2 thì tíchz  z 1z 2được biểu thị bởi vectơ OZ có được từ vectơOZ 1 theo cách như sau:10. Quay vectơ OZ 1 quanh O một góc bằng vớiargument của vectơ OZ 2 .20. Nhân vectơ vừa thu được với mođun củavectơ OZ 2 .Nếu r1, r2 và q1, q2 là mođun và argument của z 1, z 2 thì ta cóiqz 1  r1e 1 , z 2  r2eVì vậy z  z 1z 2  r1r2ei q2i [q1 q2 ]Khi đó arg z   q1  q2 và mođun của z là r1r2  OZ 1.OZ 2 .Ta lấy điểm U trên trục Ox có hoành độ 1 . Điểm Z mà ta tìm kiếm chính làđỉnh thứ ba trong tam giác OZ 1Z đồng dạng với tam giác OUZ 2 vớiOZ 1OZ[Ox ,OZ ]  q1  q2,.OZ 2 OU  15.4 Phép chia. zNếu các số phức z 1, z 2 được biểu thị bởi các vectơ OZ 1, OZ 2 thì tỉ số z  1z2được biểu thị bởi vectơ OZ được tạo ra từ vec tơ OZ 1 như sau:10. Quay OZ 1 quanh O một góc bằngvới  arg[OZ 2 ] ;20. Chia vectơ vừa thu được chomođun của vectơ OZ 2 .Trang 4GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ ThanhSử dụng mục 5.3, dựng điểm Z là ảnh hình học của z và z r1 i [q1 q2 ].er2Điểm Z là đỉnh thứ ba của tam giác OZ 1Z đồng dạng với tam giác OZ 2U .Như vậy ta đã thực hiện phép chia như là trường hợp ngược lại của phép nhân.6. Căn bậc n của đơn vị.6.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức.Xét số nguyên dương n  2 và một số phức z 0  0 . Phương trìnhZ n  z0  0[1]được dùng định nghĩa căn bậc n của số phức z 0 . Ta gọi nghiệm Z của phương trình[1] là một căn bậc n của z 0 .Định lí. Đặt z 0  r [cos q  i sin q ] là một số phức với r  0 và q  [0, 2p].Căn bậc n của z 0 gồm n nghiệm phân biệt được cho bởi công thứcq  2k pq  2k p i sin], k  0,1,..., n  1.nn6.2 Căn bậc n của đơn vị.Z k  n r [cosMột nghiệm của phương trình Z n  1  0 gọi là một căn bậc n của đơn vị.Vì 1  cos 0  i sin 0 , từ công thức tìm căn bậc n của số phức ta suy ra căn bậc ncủa đơn vị làek  cos2k p2k p i sin, k  0,1, 2,..., n  1nnII. NHỮNG PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN1. Phép biến hình.Phép đặt tương ứng với mỗi điểm Z cho duy nhất một điểm Z  trong mặt phẳngGauss tạo thành một phép biến hình trong mặt phẳng và được kí hiệu là w .Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó10. với mỗi điểm Z có tương ứng một điểm duy nhất Z  ;20. mỗi điểm Z  là sự tương ứng của một điểm Z .Như vậy phép biến hình w là một - một; điểm Z  là tương ứng của điểm Z .Phép đặt tương ứng mỗi điểm Z  với điểm Z được gọi là phép biến hình ngược củaw , kí hiệu w 1 .Phương trình của một phép biến hình w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z của điểmZ tùy ý trong mặt phẳng và tọa độ phức z  của điểm Z  tương ứng với Z .Trang 5GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanh2. Phép tịnh tiến.Đặt A là một điểm cho trước và Z là một điểm tùy ý trong mặt phẳng và đặt a vàz là các tọa độ phức của chúng. Điểm Z’ mà ZZ  OA được gọi là ảnh của Z trong phép tịnh tiến theo vectơ OA .Khi đó, phương trình của phép tịnh tiến làz  z a3. Phép quay.Gọi A là một điểm cho trước với tọa độ phức là a , vàđặt a là một số thực cho trước, dương, bằng 0, hoặcâm. Phép quay quanh A một góc có giá trị đại số a ,mỗi điểm Z trong mặt phẳng cho ta một điểm Z . Các vectơ AZ , AZ biểu thị các số phứcz   a, z - a , khi đó AZ  thu được từ AZ bằng phépquay, ta cóz   a  [z  a ]e ia .Khi đó, phương trình của phép quay góc a quanh điểm có tọa độ phức a làz   ze ia  a[1  e ia ]Hệ quả. Khi ta quay một góc a  p [hoặc a  p] quanh A , ta có phép đối xứngtâm A khi đóe ip  cos p  i sin p  1 ,Phương trình của nó là z   z  2a .4. Phép vị tự.Một điểm A cho trước của tọa độ phức avà một số thực k  0 , âm hoặc dương. Nếu ta đặtmột trục tùy ý trên đường thẳng chứa điểm A vàTrang 6GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanhmột điểm Z bất kì, lấy điểm Z  bất kì trên trục sao cho ta có hệ thứcAZ kAZthì Z  gọi là ảnh của Z qua phép vị tự tâm A tỉ số k.Khi đó phương trình của phép vị tự làz   kz  a[1  k ]Chú ý. Giá trị 1,  1 của k cho ta phép đồng nhất và phép đối xứng tâm A.5. Hệ thức giữa ba điểm.Ba điểm cho trước A, B, C với các tọa độ phứclần lượt là a, b, c nếu AB, AC là giá trị đại số củacác đoạn trên trục a1, a2 được đặt một cách tùy ý trênđường thẳng AB, AC ta cóc  a  [b  a ]ei [a1 ,a 2 ]AC,ABtrong đó [a1, a2 ] là góc định hướng có a1 là cạnh đầu vàa2 là cạnh cuối.6. Đối xứng trụcTrên một đường thẳng cho trước lấy hai điểm A, B , gọi điểm Z  là điểm đối xứngvới điểm Z qua đường thẳng này trong mặtphẳng tọa độ. Gọi d1, d2 là các trục được đặt mộtcách tùy ý trên đường thẳng AZ và BZ , và đặtd1 và d2 là các trục đối xứng với d1, d2 quađường thẳng AB. Ta có phương trình của phépđối xứng có dạnga z a zb z b zhoặcz a ba bzab  aba b.Trang 7GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanh7. Phép nghịch đảo.Đặt p là phương tích của phép nghịch đảo cực M có tọa độ phức m ; gọi d là mộttrục được đặt một cách tùy ý trên đường thẳng chứa điểm M và một điểm Z nào đótrong mặt phẳng; đặt Z  là nghịch đảo của Z . Ta có[7]MZ .MZ   pvà phương trình của phép nghịch đảo cực M phươngtích p là[z   m ][z  m ]  pz mz  p  mm.z mChú ý. Khi M trùng O và p  1 , phương trình củaphép nghịch đảo làhoặcz 1z.8. Điểm vô tận trong mặt phẳng Gauss.Mặt phẳng Gauss [được gắn với hệ tọa độ phức] chỉ chứa một điểm tại vô tậntương ứng với z bằng vô cực.Do cực M của phép nghịch đảo không có ảnh nên ta bổ sung cho mặt phẳng Gaussmột điểm tại vô tận và điểm này chính là ảnh của cực M .9. Tích của các phép biến hình.Xét phép biến hình w1 biến điểm Z thành điểm Z 1 , ta viết Z 1  w1[Z ] và phépbiến hình w2 biến điểm Z 1 thành một điểm Z 2 ta viết Z 2  w2 [Z 1 ]Khi đó, ta có Z 2  w2 w1[Z ] hay ta có thể viết Z 2  w2w1[Z ] [11]Phép biến hình w cho phép ta biến trực tiếp điểm Z thành điểm Z 2 được gọi làtích các phép biến hình w1, w2 được thực hiện theo thứ tự này,Phương trình [11] và Z 2  w[Z ] cho phép ta quy ước w  w2w1 .Trong kí hiệu tích w2w1 , thừa số thứ hai w1 được thực hiện đầu tiên trong phép biếnđổi.Thí dụ:10. Tích của hai phép tịnh tiến.Trang 8GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanh Đặt a1, a2 là các số phức được biểu thị bởi các vectơ OA1, OA2 xác định bởi phéptịnh tiến w1, w2 .Nếu điểm Z biến thành Z 1 qua w1 và Z 1 biến thành điểm Z 2 qua w2 , tức làz 1  z  a1 [12]z 2  z 1  a2 [13]thì phương trình của phép biến hình w2w1 cho phép biến đổi trực tiếp từ điểm Zthành Z 2 là:z 2  z  a1  a 2 Điều này chứng tỏ rằng tích w2w1 là một phép tịnh tiến của vectơ OA1  OA2 .20 . Tích của hai phép quay.Gọi a1, a2 lần lượt là tọa độ phức của các tâm A1 và A2 của phép quay góc có giátrị đại số a1, a2 .Nếu phép quay w1 biến điểm Z thànhZ 1 và phép quay w2 biến điểm Z 1 thành điểmZ 2 , tức làz 1  zeia1z 2  z 1eia2ia a1[1  e 1 ]ia a2 [1  e 2 ]thì phương trình của phép biến hình w2w1 màbiến điểm Z thành điểm Z 2 làz 2  zei [a1 a2 ]ia a1[1  e 1 ]eia2ia a2 [1  e 2 ] [14].+ Nếu các phép quay w1 , w2 có cùng tâm nghĩa là A1  A2  A hay a1  a2  a [ alà tọa độ phức của A ] thì [14] biểu diễn một phép quay tâm A , góc quay là a1  a2 .+ Nếu các phép quay khác tâm:* Nếu ei [a1 a2 ] 1 hay a1  a2  2k p [k  ] thì [14] biểu diễn một phép tịnh tiến.* Nếu a1  a2  2k p [k  ] thì [14] biểu diễn một phép quay tâm A[a ] , góc quayialà a1  a2 , trong đó a a1[1  e 1 ]eia21 e a2 [1  ei [ a1 a2 ]Trang 9ia2].GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanh10. Phép đối hợp.Một phép biến hình w được gọi là phép đối hợp nếu qua w điểm Z biến thànhđiểm Z  và điểm Z  cũng biến thành Z .Tích của hai phép biến hình đối hợp w là phép đồng nhất nghĩa làww  1 hoặc w 2  1 .Hơn nữa, ta thấy rằng một phép biến hình là đối hợp nếu bình phương của nó làphép đồng nhất.Nếu nhân hai vế của phương trình trên với w 1 , ta đượcwww 1  w 1 hay w  w 1 .Do đó, một phép biến hình là đối hợp nếu nó đồng nhất với nghịch đảo của nó.Phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép nghịch đảo là các phép đối hợp.III. TỈ SỐ KÉP1. Định nghĩa và giải thích.Tỉ số kép [A.R.] của bốn điểm phân biệt Z 1, Z 2 , Z 3, Z 4 trong mặt phẳng Gauss,theo thứ tự đó được định nghĩa thông qua tọa độphức z 1, z 2, z 3, z 4 được kí hiệu[Z 1Z 2Z 3Z 4 ] hoặc [z 1z 2z 3z 4 ] và[z 1z 2z 3z 4 ] z1  z 3 z1  z 4:.z2  z 3 z2  z 4Ta đặt các trục tùy ý a13 , a14 , a23, a24 trêncác đường thẳng Z 1Z 3 , Z 1Z 4 , Z 2Z 3, Z 2Z 4 có thểphân biệt hoặc trùng nhau. Giả sử [x , y ]  p,2ta có [II. 5]z1  z 3Z Z i [a ,a ] z  z 4Z Z i [a ,a ] 3 1 e 23 13 ; 1 4 1 e 24 14 ,z2  z 3z2  z 4Z 3Z 2Z 4Z 2Khi đó[z 1z 2z 3z 4 ]  [Z 1Z 2Z 3Z 4 ]  [Z 1Z 3:Z 1Z 4Z 2Z 3 Z 2Z 4Nếu ta chọn các trục a13 , a14 , a23, a24 sao cho]ei [[a23 ,a13 ][a24 ,a14 ]]Z 1Z 3:Z 1Z 4Z 2Z 3 Z 2Z 4dương, khi đó tỉ số nàylà môđun của tỉ số kép và một argument là [a23, a13 ]  [a24 , a14 ].Trang 10GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ ThanhĐiều này xảy ra tương tự nếu ta lấy[ z 1z 2z 3z 4 ]  [Z 1Z 2Z 3Z 4 ]  [Z 1Z 3Z 2Z 3:Z 1Z 4Z 2Z 4]e  i [[Z 2Z 3 ,Z1Z 3 ][Z 2Z 4 ,Z1Z 4 ]].2. Các tính chất.Tính chất cơ bản của tỉ số kép của bốn số thực hoặc bốn số phức cho phép ta chứngminh các tính chất sau đây của tỉ số kép cho bốn điểm trong mặt phẳng Gauss.10. Một tỉ số kép của bốn điểm có giá trị không thay đổi nếu ta thay đổi hai điểmvà cùng lúc ta thay đổi hai điểm kia; ta nhận được giá trị nghịch đảo nếu thay đổi haiđiểm đầu hoặc hai điểm cuối; ta nhận được phần bù đối với đơn vị nếu ta thay đổi haiđiểm chính giữa hoặc hai điểm ngoài cùng.20. Với 4 điểm ta có thể có tạo thành 24 tỉ số kép, biểu thị nhiều nhất 6 giá trị và3 trong số những giá trị này nghịch đảo với 3 giá trị kia.[Z 1Z 2Z 3Z 4 ]  [Z 2Z 1Z 4Z 3 ]  [Z 3Z 4Z 1Z 2 ]  [Z 4Z 3Z 2Z1 ]  l1[Z 1Z 2Z 4Z 3 ]  [Z 2Z 1Z 4Z 3 ]  [Z 4Z 3Z 1Z 2 ]  [Z 3Z 4Z 2Z 1 ] l[Z 1Z 3Z 2Z 4 ]  [Z 3Z 1Z 4Z 2 ]  [Z 2Z 4Z 1Z 3 ]  [Z 4Z 2Z 3Z1 ]  1  l1[Z 1Z 3Z 4Z 2 ]  [Z 3Z 1Z 2Z 4 ]  [Z 4Z 2Z 1Z 3 ]  [Z 2Z 4Z 3Z 1 ] 1l[Z 1Z 4Z 2Z 3 ]  [Z 4Z 1Z 3Z 2 ]  [Z 2Z 3Z1Z 4 ]  [Z 3Z 2Z 4Z1 ] l 1l[Z 1Z 4Z 3Z 2 ]  [Z 4Z 1Z 2Z 3 ]  [Z 3Z 2Z 1Z 4 ]  [Z 2Z 3Z 4Z1 ] l.l 11l 1, [Z 1Z 4Z 2Z 3 ] của tỉ số kép có1llđược bằng cách giữ có định điểm đầu tiên và hoán vị vòng tròn ba điểm còn lại là ba tỉsố cơ bản của tỉ số kép.40. Nếu bốn điểm phân biệt thì tỉ số kép của chúng khác 1, 0,  .30. [Z 1Z 2Z 3Z 4 ]  l , [Z 1Z 3Z 4Z 2 ] 11z  z 2 z1  z 450. Ta có [Z 1Z 2Z 3Z 4 ]  111z1  z 2 z1  z 3một hệ thức trình bày tỉ số kép như là một hàm số của hiệu số giữa một tọa độ phứcvới một trong số ba tọa độ khác.3. Trường hợp có một điểm ở vô tận.Ta kí hiệu  cho cả điểm ở vô tận trong mặt phẳng Gauss và tọa độ phức của nó.Trang 11GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ ThanhTa định nghĩa z  z z  z  z  z343 1[Z 1Z 2Z 3]  lim [z 1z 2z 3z 4 ]  lim  1: 1Z 4 Z 4   z  zz 2  z 4  z 2  z 3 23Hệ quả. Với mỗi số phức z , tỉ số kép được xác định bởi điểm Z , điểm U trên trụcOx có hoành độ bằng 1, gốc O, và một điểm ở vô tận cho ta[ZUO ]  [Z 10]  z .4. Tỉ số kép thực.Để tỉ số kép của bốn điểm Z 1, Z 2 , Z 3, Z 4 trong mặt phẳng phức là thực điều kiệncần và đủ là những điểm này phải cùng thuộc một đường thẳng hoặc cùng thuộc mộtđường tròn. Khi đó tỉ số kép này được xét cũng tương tự như tỉ số kép được xét tronghình học sơ cấp.IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN1. Đường thẳng1.1. Điểm chia đoạn thẳng.Nếu z 1, z 2 , z lần lượt là tọa độ phức của các điểm Z 1, Z 2 và Z . Khi đó Z chiađoạn thẳng Z 1Z 2 với tỉ số là k ZZ 1ZZ2z 1  kz2[1]1kHệ quả. Với k  1 ta có tọa độ phức trung điểm của đoạn thẳng Z 1Z 2 làTa có z z1.2. Phương trình tham số.z1  z 2.2Nếu một đường thẳng đi qua điểm A a  và song song với đường thẳng nối gốc O vàđiểm B b  thì phương trình tham số của nó làz  a  bt  [2]trong đó t là tham số thực xác định trong khoảng[, ] .Hệ quả.10. Mỗi đường thẳng thực chứa vô số điểmcủa mặt phẳng Gauss.Từ phương trình [2] thấyrằng có vô số giá trị của t , do đó z cũng vô hạn.Trang 12GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanh20. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm Z 1[z 1 ], Z 2 [z 2 ] là:z  z 1  [z 1  z 2 ]tvì vectơ Z 2Z 1 có phương của đường thẳng biểu diễn bởi số z 1  z 2 .30. Ba điểm Z 1, Z 2 , Z 3 thẳng hàng, khi t là một số thực, ta có:z 3  z 1  t[z 1  z 2 ] Z 1Z 3  tZ 2Z 1 .Đây là cách tổng quát để biểu diễn sự thẳng hàng của ba điểm.1.3. Phương trình tổng quát.Phương trình tổng quát của đường thẳng của mặt phẳng Gauss có dạng:az  az  b  0[3]trong đó b là một số thực. Đường thẳng này luôn đi qua điểm có tọa độ phức là b2avà vuông góc với véctơ biểu diễn bởi số a .Hệ quả.10. Phương trình đường thẳng qua hai điểm Z 1[z 1 ], Z 2 [z 2 ] là:zz1z2z 1z1 1  0z 1[4]22 . Ba điểm Z 1, Z 2 , Z 3 thẳng hàng nếu:0z1z2z3z11z2 1  0z 133 . Đường thẳng qua điểm Z 1[z 1 ] và song song với vectơ biểu diễn bởi số phức0c là:z z 1z1 z 1  01c c 01.4. Điều kiện trực giao, thẳng hàng.Trong mục này ta xét 4 điểm phân biệt M i [z i ], i  1, 2, 3, 4 .Tính chất 1. Các điểm M 1, M 2, M 3 thẳng hàng khi và chỉ khiTrang 13z 3  z1 .z 2  z1GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ ThanhTính chất 2. Các đường thẳng M 1M 2 và M 2M 4 trực giao khi và chỉ khiz1  z 2 i .z3  z42. Đường tròn2.1. Phương trình tổng quát.Phương trình tổng quát của đường tròn trong mặt phẳng Gauss có dạng:zz  az  az  b  0[1]trong đó b   , tọa độ phức của tâm là [ a ] và bình phương bán kính là [ aa  b ].2.2. Phương trình tham số.Trong mặt phẳng Gauss, phương trìnhat  b[3]ct  dtrong đó a, b, c, d là các hằng số phức thỏa ad  bc  0 [4] và t là tham số có thểlấy tất cả các giá trị thực, biểu diễn:zdlà số thực.c20. một đường tròn trong tất cả các trường hợp còn lại.Ngược lại, bất kì đường thẳng nào và bất kì đường tròn thực nào cũng có thểđược biểu diễn bởi một phương trình có dạng [3].10. một đường thẳng nếu c  0 hoặc nếuTrang 14GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiChương 2:SVTH: Võ ThanhNHỮNG PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒNI. NHỮNG TÍNH CHẤT CHUNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN1. Định nghĩa.Cho z, z’ là tọa độ phức của hai điểm Z, Z’ trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, vàa, b , g, d là các hằng số thực hoặc ảo.Xét phương trìnhazz ' b z  g z ' d  0[1]là một song tuyến tính giữa z và z’. Bằng cách viết phương trình dưới dạngz [az ' b ]  g z ' d  0 ,chúng ta thấy rằng, nếu cho z’một giá trị tùy ý, để phương trình cho một và chỉ mộtgiá trị của z [không bao gồm ∞], khi đó điều kiện cần và đủ là các phương trìnhaz ' b  0;g z ' d  0gặp mâu thuẫn, hayad  bg  0[2]hoặc bằng cách viết phương trình dưới dạngz '[az  g ]  b z  d  0thì mỗi giá trị của z có tương ứng một và chỉ một giá trị của z’.Do đó, nếu bất phương trình [2] xảy ra, phương trình [1] kết hợp với mỗi điểm thực Zcủa ω - phẳng có một và chỉ một điểm Z’ của ω’ - phẳng được thêm vào, và ngược lại.Phép biến đổi 1 – 1 của mặt phẳng Gauss vào chính nó được gọi là phép biến đổi tròncủa mặt phẳng phức. Nó cũng được gọi là một phép biến đổi Mobius gọi theo tên củanhà hình học người Đức, người đã khám phá ra nó vào năm 1853.Giải theo z’, bằng cách đặtb  a,  d  b, a  c, g  d ,phương trình [1] của phép biến đổi trở thànhz'az  b,cz  dad  bc  0Ta nói rằng z’ là một hàm biến đổi tròn của z.Trang 15[3]GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanh2. Xác định một phép biến đổi tròn.Định lí. Một phép biến đổi tròn được xác định nếu biết ba điểm phân biệt, tùy ý mà takí hiệu là Z 1 , Z 2 , Z 3 và ba điểm phân biệt, tùy ý tương ứng với chúng là Z 1' , Z 2' , Z 3' .Chứng minh.Nếuz 1  z 2  z 3 và z 1'  z 2'  z 3'[4]là tọa độ phức của các điểm đã cho, chúng ta phải có hệ các điều kiệnaz 1z 1'  b z 1  g z 1'  d  0az 2z 2'  b z 2  g z 2'  d  0[5]az z  b z 3  g z  d  0'3 3'3trong đó ma trậnz z ' 1 1z z ' 2 2 'z 3z 3các hệ số của các ẩn a, b , g, d1z 2 z 2' 1z 3 z 3' 1có hạng là 3.z1z 1'[6]Thật vậy, giả sử ma trận [6] có hạng nhỏ hơn 3 thì ta sẽ cóz 1z 1'1  z 2z 2'z 1' 1z 1' 1z1z 2' 1  0,2  z 2z 3z 3' z 3' 1z 2' 1  0z 3 z 3' 1và do đó cũng cóz 1' 101  z 2  z 2 [z  z ] z'1'2'3'1'1z 3 [z  z ] z'2'3001  z 2 [z  z ] z  z1'2'3'1'1'2'3z 3 [z  z ] z  z1'1'11  [z 2'  z 1' ][z 3'  z 1' ][z 2  z 3 ]  01điều này trái với giả thiết [4].Các số a, b , g, d được xác định bằng một thừa số chung tùy ý, phép biến đổi tròn làduy nhất, và phương trình của nó làzz 'zz' 1z 1z 1'z1z 1' 1z 2z 2'z2z 2' 10z 3z 3' z 3 z 3' 1Trang 16[7]GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanhthu được bằng cách kết hợp các phương trình [1] và [5] thỏa mãn điều kiện là các giátrị a, b , g, d không đồng thời bằng không.Trong chứng minh trên, giả sử rằng tất cả các điểm đều thuộc phần hữu hạn của mặtphẳng. Ta xét ba trường hợp còn lại.10 Một điểm duy nhất, giả sử là Z 1 , ở vô tận. Trước hết, phương trình đầu tiên của [5]được thay bởiaz 1'  b  0[8]và ma trận ứng với [6] làz '1 0 0 1z z ' z z ' 1  2 2 2 2 ''z 3z 3 z 3 z 3 1 có hạng là 3 bằng cách nhìn ba cột cuối.Phương trình duy nhất của phép biến đổi tròn khi đó làzz 'zz' 1100zzz21zzz3 z'2'3z'1'2 2'3 3z01Ta thấy rằng phương trình này có thể nhận được từ [7] bằng cách chia các phần tử củadòng 2 cho z 1 và cho z 1   .20 Một điểm của mỗi bộ ba ở vô tận, và hai điểm này không tương ứng, giả sử là Z 1 ,Z 2 ’. Hai phương trình đầu của [5] được thay thế bằng [8] vàaz 2  g  0Ma trậnz '1 0 0 1z0 1 0 2 ''z 3z 3 z 3 z 3 1 có hạng là 3 và phương trình duy nhất của phép biến đổi tròn làzz 'zz' 1z 1'z21001z 3z 3' z 3 z 3'Trang 170001GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanh30 Hai điểm tương ứng, gọi là Z 1 , Z 1 ’, trùng với điểm tại vô tận. Các phương trìnhđiều kiện [5] được viết lại làa  0,b z 2  g z 2'  d  0,b z 3  g z 3'  d  0,và do ma trậnz z ' 1 2 2 z z ' 1 3 3 có hạng là 2, phép biến đổi tròn duy nhất có phương trìnhzz' 1z2z 2' 1  0z 3 z 3' 13.Tính bất biến của tỉ số kép.Định lí. Tỉ số kép của bốn điểm bất kì Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 bằng với tỉ số kép của bốn điểmtương ứng với nó là Z 1' , Z 2' , Z 3' , Z 4' qua phép biến đổi tròn bất kì của mặt phẳng phức.Chứng minh.Ta phải thấy rằng[z 1' z 2' z 3' z 4' ]  [z 1z 2z 3z 4 ]hoặc, giả sử tám điểm là hữu hạn, thìz 1'  z 3':z 1'  z 4'z 2'  z 3' z 2'  z 4'z1  z 3 z1  z 4:z2  z 3 z2  z 4[9]Từ phương trình [1] của phép biến đổi tròn ta thu đượcz 1'  z 3' [ad  bg ][z 1  z 3 ][az 1  g ][az 3  g ][10]và tương tự cho các trường hợp còn lại, từ đó ta có được phương trình [9]. Phươngtrình này cũng có thể kiểm tra bằng việc bắt đầu với vế phải.Bây giờ giả sử z 1' bằng vô cực, tức là Z 1' ở vô tận. Điều này có được nếu, khi a  0 tađược z 1  g, hoặc, khi a  0 , ta được z 1   . Vìa[z z z ]  [z z z ] ' ' '2 3 4' ' '4 3 2Trang 18z 4'  z 2'z 3'  z 2'GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ ThanhBằng cách biểu diễn như [10], ta được[z 2' z 3' z 4' ] z 4  z2 z 3  z2:az 4  g az 3  gTrong trường hợp đầu, bằng cách thaytrường hợp thứ hai, [11] trở thành[z 2' z 3' z 4' ] [11]gbởi z 1 ta thu được quan hệ cần tìm; trongaz 4  z2 [z 4z 3z 2]  [z 2z 3z 4 ]z 3  z24. Phép biến đổi tròn.Phép biến đổi được gọi là tròn vì tính chất sau.Mỗi đường cong của tập hợp chứa các đường thẳng và đường tròn của mặt phẳngthì biến thành một đường cong cũng thuộc tập đó.Thật vậy, gọi l là đường thẳng hay đường tròn bất kì, Z 1 , Z 2 , Z 3 là ba điểm cố định vàZ là điểm di động trên l , và Z 1 ’, Z 2 ’, Z 3 ’, Z’ là các điểm tương ứng với chúng quaphép biến đổi tròn bất kì của mặt phẳng phức.Tỉ số kép [Z 1 Z 2 Z 3 Z] là số thực; điều này cũng đúng cho [Z 1 ’Z 2 ’Z 3 ’Z’], và điểm Z’ dođó biểu diễn đường thẳng hay đường tròn l’ qua các điểm Z 1 ’, Z 2 ’, Z 3 ’.5. Sự bảo toàn góc.Định lí. Nếu hai đường cong l, l 1 cắt nhau tại điểm Z, tọa độ phức của nó khác -d/c, tạo một góc có giá trị đại số là θ thì ảnh l’, l 1 ’ của nó qua phép biến đổi tròn cóphương trình [3] cắt nhau tại Z’, tương ứng với Z, tạo một góc θ +kπ, k∈ Z.Ta nói rằng phép biến đổi tròn bảo toàn góc [sai khác kπ] cả về độ lớn và dấu, hayphép biến đổi tròn là một phép biến đổi bảo giác thuận.Chứng minh.Đặtz = f[t]là phương trình của l. Tiếp tuyến tại điểm Z thì song song vớidz, và ta có thể định hướngdttiếp tuyến dương theo chiều của vectơ này.véctơ OT là vectơ biểu diễn bởiPhương trình của l’ làz'af [t ]  bcf [t ]  dTrang 19GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanhvà tiếp tuyến tại điểm Z’ tương ứng với Z, với giả sử rằng cf[t] + d ≠ 0, thì song songvới véctơ OT ' là vecto biểu diễn bởidz 'ad  bc dz.dt[cz  d ]2 dtNếu φ là argument củaad  bcthì khi đó ta có[cz  d ]2[Ox,OT ']  f  [Ox,OT ]và, cho các đường cong l 1 , l 1 ’ bởi một phép đối xứng thích hợp kí hiệu,'[Ox,OT1 ]  f  [Ox,OT1 ]Từ các mối quan hệ này ta thu quan hệ cần tìm [sai khác k2π] được bằng cách trừ vếtheo vế.Nếu chiều dương của tiếp tuyến với l1' tại Z’ ngược với chiều của véctơ OT1' , thì góccủa nó với véctơ OT ' là q  [2k  1]p , định lý được chứng minh.6. Tích hai phép biến đổi tròn.Định lí. Tích hai phép biến đổi tròn là một phép biến đổi tròn.Chứng minh.Choa1zz 1  b 1z  g1z 1  d1  0,a1d1  b 1g1  0[12]là một phương trình của phép biến đổi tròn w1 , qua đó mỗi điểm Z tương ứng vớiđiểm Z 1 , vàa2z 1z 2  b 2z 1  g 2z 2  d2  0,a2d2  b 2 g 2  0[13]là một phương trình của phép biến đổi tròn w2 , qua đó mỗi điểm Z 1 tương ứng vớiđiểm Z 2 .Tích w  w2w1 của các phép biến đổi tròn này là phép biến đổi cho phép chúng tachuyển từ Z sang Z 2 . Kết quả là phương trình của nó có được bằng cách khử z 1 từ[12] và [13], và là[a1g 2  a2b 1 ]zz 2  [a1d2  b 1b 2 ]z  [g1g 2  a2d1 ]z 2  g1d2  b 2d1  0Đây là một phương trình song tuyến tính của z , z 2 .VìTrang 20[14]GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc ThiệnHảiSVTH: Võ Thanh[a1g 2  a2b 1 ][g1d2  b 2d1 ]  [a1d2  b 1b 2 ][g1g 2  a2d1 ]  [a1d1  b 1g1 ][a2d2  b 2 g 2 ]  0nên w là một phép biến đổi tròn.7. Nhóm tròn của mặt phẳng.Một tập các phép biến hình tạo thành một nhóm nếu nó thỏa mãn hai tính chất sau:10 tích hai phép biến hình bất kì của tập hợp là một phép biến hình của tập hợp đó.20 biến đổi ngược của mỗi phép biến hình của tập thì thuộc tập đó.Tập hợp các phép biến đổi trònz'az  b,cz  dad  bc  0có hai tính chất đó theo mục 6 và bởi việc thay a bằng d và d bằng a thìphương trình [15] thành phép biến hình ngược tương ứng. Ta gọi nhóm này là nhómtròn của mặt phẳng.8. Định nghĩa.Ta gọi một điểm là điểm bất biến của một phép biến đổi tròn nếu nó trùng với điểmtương ứng của nó.Một phép biến đổi tròn khác phép đồng nhất có nhiều nhất hai điểm bất biến.Thật vậy, có một phép biến đổi tròn duy nhất có ba điểm bất biến là phép biến đổiđồng nhất.Để thuận lợi ta kí hiệu mặt phẳng Gauss bởi ω hay ω’ , theo đó ta xét tập các điểmZ hoặc ảnh Z’của chúng tương ứng qua một phép biến đổi tròn.Điểm giới hạn L của ω - phẳng của một phép biến đổi tròn ℜ là điểm mà điểmtương ứng L’ của nó ở vô tận của ω’- phẳng. Điểm giới hạn M’ của ω’ - phẳng thìtương ứng với điểm M ≡ L’ tại vô tận trong ω - phẳng. Các điểm L, M’ cũng là cácđiểm tương ứng của điểm tại vô tận trong các phép dời ℜ -1và ℜ.II. PHÉP ĐỒNG DẠNG1. Định nghĩa.Phép biến đổi tròn với phương trìnhb z  g z ' d  0,bg  0[1]hayz'az  b,dad  0[2]trong đó, a hay c bằng không, số hạng zz ' không có mặt, gọi là một phép đồng dạng.Trang 21