Tailieumoi.vn xin giới thiệu Giải bài tập Toán 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Đường trung bình của tam giác, của hình thang lớp 8.
Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang
Trả lời câu hỏi giữa bài
Câu hỏi 1 trang 76 Toán 8 Tập 1: Vẽ tam giác ABC bất kì rồi lấy trung điểm D của AB. Qua D vẽ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt AC ở E. Bằng quan sát, hãy nêu dự đoán về vị trí của điểm E trên cạnh AC.
Lời giải
Dự đoán: E là trung điểm cạnh AC
Câu hỏi 2 trang 77 Toán 8 Tập 1: Vẽ tam giác ABC bất kì rồi lấy trung điểm D của AB, trung điểm E của AC. Dùng thước đo góc và thước chia khoảng để kiểm tra rằng ADE^=B^, DE=12BC.
Lời giải
Câu hỏi 3 trang 77 Toán 8 Tập 1: Tính độ dài đoạn BC trên hình 33.
Giữa hai điểm B và C có chướng ngại vật [h.33]. Biết DE = 50m, ta có thể tích được khoảng cách giữa hai điểm B và C.
Lời giải
Xét ΔABC, có:
D là trung điểm AB
E là trung điểm AC
Suy ra DE là đường trung bình của
⇒DE=12BC hay BC = 2DE.
Mà DE = 50m nên BC = 2.50 = 100m.
Vậy khoảng cách giữa hai điểm B và C là 100m.
Câu hỏi 4 trang 78 Toán 8 Tập 1: Cho hình thang ABCD [AB // CD]. Qua trung điểm E của AD kẻ đường thẳng song song với hai đáy, đường thẳng này cắt AC ở I, cắt BC ở F [h.37]. Có nhận xét gì về vị trí của điểm I trên AC, điểm F trên BC ?
Lời giải
Áp dụng định lí 1 đường trung bình của tam giác
ΔADC có E là trung điểm AD và EI song song với cạnh DC
⇒ Điểm I là trung điểm AC
ΔABC có I là trung điểm AC và FI song song với cạnh AB
⇒ điểm F là trung điểm BC
Câu hỏi 5 trang 79 Toán 8 Tập 1: Tính x trên hình 40.
Lời giải
Dựa vào hình vẽ ta thấy rằng AD ⊥ DH, CH ⊥ DH, BE ⊥ DH
Suy ra, AD // BE // CH
Xét tứ giác ADHC có: AC // CH nên ADHC là hình thang.
Ta lại có B là trung điểm của AC và BE // AD // CH
⇒E là trung điểm của BH
Suy ra BE là đường trung bình của hình thang ADHC.
⇒BE=AD+CH2⇔32=24+x2⇔32.2=24+x⇔64=24+x⇔x=64−24=40.
Bài tập [trang 79, 80]
Bài 20 trang 79 Toán 8 Tập 1:Tính x trên hình 41.
Lời giải
Ta có: AKI^=C^=50°
Mà hai góc ở vị trí hai góc đồng vị
⇒ IK // BC
Ta lại có KA = KC [= 8cm] nên K là trung điểm AC
Xét tam giác ABC, có:
Đường thẳng IK đi qua trung điểm cạnh AC và song song với cạnh BC nên đi qua trung điểm cạnh AB
⇒ I là trung điểm AB
⇒ IA = IB = 10cm hay x = 10cm.
Bài 21 trang 79 Toán 8 Tập 1: Tính khoảng cách AB giữa hai mũi của compa trên hình 42, biết rằng C là trung điểm của OA, D là trung điểm của OB và CD = 3cm.
Lời giải
Xét ΔOAB, ta có:
C là trung điểm của OA
D là trung điểm của OB
⇒ CD là đường trung bình của ΔOAB
⇒ CD=12AB.
⇒ AB = 2CD = 2.3 = 6cm.
Vậy AB = 6cm.
Bài 22 trang 80 Toán 8 Tập 1: Cho hình 43. Chứng minh rằng AI = IM.
Lời giải
ΔBDC có
BE = ED nên E là trung điểm của BD
BM = CM nên M là trung điểm của BC
⇒ EM là đường trung bình của ΔBDC
⇒ EM // DC hay EM // DI.
ΔAEM có DI // EM [cmt] và AD = DE [gt]
⇒ IA = IM [Theo định lý 1]
Bài 23 trang 80 Toán 8 Tập 1: Tìm x trên hình 44.
Lời giải
Ta có:
MP⊥PQIK⊥PQNQ⊥PQ⇒MP//IK//NQ
Xét tứ giác MNQP, có: MP // NQ
⇒ Tứ giác MPQN là hình thang
Do đường thẳng IK đi qua trung điểm cạnh bên MN và song song với hai đáy nên K là trung điểm PQ.
Nên PK = KQ =5dm
Vậy x = 5dm
Bài 24 trang 80 Toán 8 Tập 1: Hai điểm A và B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Khoảng cách từ điểm A đến xy bằng 12cm, khoảng cách từ điểm B đến xy bằng 20cm. Tính khoảng cách từ trung điểm C của AB đến xy.
Lời giải
Gọi P, Q, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A, B, C xuống xy.
Ta có: AP⊥xyCK⊥xyBQ⊥xy⇒AP//CK//BQ
Xét tứ giác ABQP có AP // BQ
⇒ Tứ giác ABQP là hình thang.
Hình thang ABQP có:
AC = CB [gt] và CK // AP // BQ
⇒ PK = KQ
⇒ CK là đường trung bình của hình thang
⇒ CK=AP+BQ2.
Mà AP = 12cm, BQ = 20cm
CK=12+202=322=16 cm.
Vậy khoảng cách từ trung điểm C của AB đến xy bằng CK và bằng: 16cm.
Bài 25 trang 80 Toán 8 Tập 1: Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng.
Lời giải
Xét ΔABD có:
D là trung điểm AB
K là trung điểm BD
⇒ EK là đường trung bình của ΔDAB
⇒ EK // AB
Xét hình thang ABCD có:
E là trung điểm của AB
F là trung điểm của BC
⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD
⇒ EF // AB// CD
Qua điểm E ta có EK // AB và EF // AB nên theo tiên đề Ơclit ta có E, K, F thẳng hàng.
Bài 26 trang 80 Toán 8 Tập 1:Tính x, y trên hình 45 trong đó AB // CD // EF // GH.
Lời giải
+] Tính x:
Xét tứ giác ABFE, có: AB // EF nên tứ giác ABFE là hình thang
Hình thang ABFE có:
CA = CE nên C là trung điểm của AE
DB = DF nên D là trung điểm của BF
⇒ CD là đường trung bình của hình thang ABFE
⇒CD=AB+EF2⇒CD=8+162=242=12cm.
+ Tính y:
Vì CD // GH nên tứ giác CDHG là hình thang
Hình thang CDHG có:
EC = EG nên E là trung điểm của CG
FD = FH nên F là trung điểm của DH
⇒ EF là đường trung bình của hình thang CDHG
⇒FE=CD+GH2=12+y2
Mà EF = 16cm ⇒16=CD+GH2=12+y2
⇒16.2=12+y⇒32=12+y⇒y=32−12=20cm.
Vậy x = 12cm và y = 20cm.
Bài 27 trang 80 Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
a] So sánh các độ dài EK và CD, KF và AB
b] Chứng minh rằng EF≤AB+CD2.
Lời giải
a] + Xét ΔADC có:
E là trung điểm của AD
K là trung điểm của AC
⇒ EK là đường trung bình của ΔADC
⇒EK=CD2
+ Xét ΔABC có:
K là trung điểm AC
F là trung điểm BC
⇒ KF là đường trung bình của ΔABC
⇒KF=AB2.
b] Xét ΔFEK, có: EF < EK + KF [Bất đẳng thức tam giác]
Hơn nữa nếu EF = EK + KF
⇔ E, K, F thẳng hàng ⇔AB // CD.
Do đó: EF ≤ EK + KF
Bài 28 trang 80 Toán 8 Tập 1: Cho hình thang ABCD [AB // CD], E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thẳng EF cắt BD tại I, cắt AC ở K.
a] Chứng minh rằng AK = KC, BI = ID.
b] Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tính các độ dài EI, KF, IK.
Lời giải
a] + Xét hình thang ABCD có:
E là trung điểm của AD [gt]
F là trung điểm của BC [gt]
⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
⇒ EF // AB // CD
+ Xét ΔABC có:
F là trung điểm BC [gt]
FK // AB [cmt]
⇒ K là trung điểm của AC hay AK = KC.
+ Xét ΔABD có:
E là trung điểm của AD [gt]
EI // AB [cmt]
⇒ I là trung điểm của BD hay BI = ID
b] + Xét hình thang ABCD có:
EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
⇒EF=AB+CD2=6+102=162=8cm
+ Xét ΔABD có:
FK là đường trung bình của tam giác ABC
⇒ FK=12AB=12.6=3cm.
+ Xét ΔABD có:
EI là đường trung bình của tam giác ABD
⇒EI=12AB=12.6=3cm.
Mặt khác: FK + IK + IE = EF
⇒IK = EF – FK – IE
⇒IK = 8 – 3 – 3 = 2 cm.