Đồ thị hàm số y = x 2 x 2 9 có bao nhiêu tiệm cận
Đồ thị hàm số y=x−2x2−9có bao nhiêu đường tiệm cận?
Show
A. 4
B.1
C.3 Đáp án chính xác
D.2
Xem lời giải Đại số Các ví dụTìm vị trí mà biểu thức không xác định. Các đường tiệm cận đứng xảy ra tại các khu vực của điểm gián đoạn vô cùng. Xét hàm số hữu tỷ trong đó là bậc của tử số và là bậc của mẫu số. 1. Nếu , thì trục x, , là đường tiệm cận ngang. 2. Nếu , thì đường tiệm cận ngang là đường . 3. Nếu , thì không có đường tiệm cận ngang (có một đường tiệm cận xiên). Tìm và . Vì , tiệm cận ngang là đường nơi mà và . Không có tiệm cận xiên vì bậc của tử số nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu số. Không có Các Tiệm Cận Xiên Đây là tập hợp của tất cả các đường tiệm cận. Các Đường Tiệm Cận Đứng: Các Đường Tiệm Cận Ngang: Không có Các Tiệm Cận Xiên
Cho đồ thị hàm số (y = (((x^2) - 3x + 2))(((x^2) - 1)) , ,( C ) ). Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị (( C ) ) là:Câu 83328 Vận dụng Cho đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\,\,\left( C \right)\). Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị \(\left( C \right)\) là: Đáp án đúng: c Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa: Đường thẳng \(y = a\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) Đường thẳng \(x = b\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \) Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập --- Xem chi tiết ...Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.03 MB, 95 trang ) (1) Phần 1: Biết đồ thị hàm số y f x= ( )Dạng 1: Biết đồ thị của hàm số y f x= ( ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thịhàm số y f x= ( ), trong bài tốn khơng chứa tham số.Câu 1. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêuđường tiệm cận? A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3. Lời giải Từ đồ thị hàm số ta thấy: ( )lim 1 x→−∞ f x = − nên đường thẳng y = − là một đường tiệm cận ngang. 1 ( )lim 1 x→+∞ f x = nên đường thẳng y = là một đường tiệm cận ngang. 1 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = ± . 1 ( )2 lim x→− + f x = +∞ và xlim→−2− f x ( )= −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cậnđứng. ( )2 lim x→ − f x = +∞ và và xlim→2+ f x ( )= −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cậnđứng. (2) Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận. Câu 1. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứngvà đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là A. Tiệm cận đứng x =1, tiệm cận ngang y = . 2 B. Tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận ngang y = . 2 C. Tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang1 y = −2. D. Tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận ngang y = − . 2 Lời giải Dựa vào đồ thị ta có ( ) ( ) 1lim x→ − − f x = +∞ và x 1lim → −( )+ f x ( )= +∞ nên đường thẳng x = − là tiệm cận 1đứng của đồ thị hàm số y f x= ( ).( )lim 2 x→−∞ f x = và xlim 2 → ∞+ f x ( )= nên đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ 2thị hàm số y f x= ( ).(3) A. Tiệm cận đứng x = −2, tiệm cận ngang y = . 1 B. Tiệm cận đứng x =2, tiệm cận ngang y = − . 1 C. Tiệm cận đứng x =1, tiệm cận ngangy = −2. D. Tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận ngang y = . 2 Lời giải Dựa vào đồ thị ta có ( )2 ( )lim x→ − − f x = +∞ và x→ −lim ( )2+ f x ( )= −∞ nên đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứngcủa đồ thị hàm số y f x= ( ).+) lim 1 ( )x→−∞ f x = và lim 1x→+∞ f x ( )= nên đường thẳng y = là tiệm cận ngang đứng 1của đồ thị hàm số y f x= ( ).Câu 3. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như hình vẽ dưới đây.(4) A. 1. B. 2 . C. 3. D. 0. Lời giải Từ đồ thị của hàm số y f x= ( )ta có lim( )1x→+∞ f x = nên đường thẳng y = là 1 đường tiệm cận ngang. ( )1x→−∞ f x = − nên đường thẳng y = − là đường tiệm cận ngang. 1 Vậy đồ thị hàm số y f x= ( )có 2 đường tiệm cận ngang.Câu 4. Cho hàm số y f x= ( ). Có đồ thị như hình vẽ.Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị của hàm số ta có ( )lim x→ − + f x = +∞ và x→ −lim( )1− f x ( )= −∞ nên đường thẳng x = − là đường tiệm cận 1đứng. ( )1 lim x→+ f x = +∞ và limx→1− f x ( )= −∞ nên đường thẳng x =1 là đường tiệm cận đứng.( )2 lim x→ + f x = +∞ và và xlim→2− f x ( )= −∞ nên đường thẳng x = − là đường tiệm cận 2đứng. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng là x = ±1 và x =2. ( )lim 1 x→−∞ f x = và xlim→+∞ f x ( )=1 nên đường thẳng y = là một đường tiệm cận 1(5) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = . 1 Câu 5. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như hình vẽ dưới đây.Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x= ( )làA. 4 . B. 3. C. 2 . D. 6 . Lời giải Dựa vào đồ thị của hàm số y f x= ( )ta có:( )1lim 2 x→−∞ f x = − nên đường thẳng 1 y = − là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x= ( ).( )1lim 2 x→+∞ f x = nên đường thẳng 1 y = là một đường tiệm cận ngang của đồ thị ( ).⇒ Đồ thị hàm số y f x= ( )có hai đường tiệm cận ngang là 12 y = ± . ( )1 lim f x − = −∞ và ( )1 lim f x + = +∞ nên đường thẳng 1 x = − là đường tiệm (6) ( )1 lim f x − = −∞ và ( )1 lim f x + = +∞ nên đường thẳng 1 x = là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x= ( ).⇒ Đồ thị hàm số y f x= ( )có hai đường tiệm cận đứng là 12 x = ± Vậy đồ thị hàm số y f x= ( )có tất cả 4 đường tiệm cận.Câu 6. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như hình vẽ dưới đây.Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x= ( )là:A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Dựa vào đồ thị của hàm số y f x= ( )ta có:( )lim 1 x→−∞ f x = nên đường thẳng y =1 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x= ( ).( )lim 3 x→+∞ f x = nên đường thẳng y =3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm (7) ( )0 lim x→ − f x = +∞ và xlim→0+ f x ( )= +∞ suy ra đường thẳng x =0 là tiệm cận đứng củađồ thị hàm số y f x= ( ).Vậy đồ thị hàm số y f x= ( )có tất cả 3 đường tiệm cận.Câu 7. Cho đồ thị hàm số y f x= ( )như hình vẽ dưới đây:Tổng số tiệm cận của đồ thị hàm số là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4 Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta có lim 1 x→±∞y= nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = và 1 limx→1±y= +∞ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng x =1. Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận. Câu 8. Cho đồ thị hàm số y f x= ( )có hình vẽ dưới đây.Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là: (8) Lời giải Chọn C Ta có: lim ( )2x→±∞ f x = nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y = 2 Lại thấy: ( )1 lim x→−+ f x = +∞ và xlim→1− f x ( )= +∞ nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệmcận ngang là x= −1;x=1 Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận Câu 9. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như hình vẽ.Gọi a là số đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Giá trị của biểu thức a2+a bằng A. 6. B. 12. C. 20. D. 30. Lời giải Dựa vào đồ thị ta có ( )( )1lim lim 2 x→−∞ f x =x→+∞ f x = . Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 1 y = . ( )1 lim f x + → = +∞, ( )1 lim f x − → = −∞ Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 1 x = ( )1 lim f x + →− = −∞, ( )1 lim f x − →− = +∞suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 1 (9) Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận ⇒ =a 3. Câu 10. Cho hàm số bậc ba y f x= ( )có đồ thị là đường cong hình bên dưới.x 4 -1 O 1 Đồ thị hàm số ( )()()( )( )2 2 1 1 2 x x g x f x f x − − = − có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Ta xét mẫu số: ( )( )( )( )( )( )2 2 0 0 1 2 2 f x f x f x f x = − = ⇔ = . Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy: x 4 y=2 -1 (10) +) Phương trình ( )1 có nghiệm x a1= < −1 (nghiệm đơn) và x = (nghiệm kép) 2 1( ) ()()21 f x x a x ⇒ = − − . +) Phương trình ( )2 có nghiệm x b3 = ∈(a; 1−), x = và 4 0 x5 = >c 1( )2() ()f x x b x x c ⇒ − = − − . Do đó ( )(( ) ( ))()2 1 1 2 x x g x f x f x − − = − () ()()() () () ()() ()2 2 1 1 1 1 . x x x x a x b x x c x a x x b x x c − + + = = − − − − − − − . ⇒ đồ thị hàm số y g x= ( )có 4 đường tiệm cận đứng.Câu 11. Cho hàm số bậc ba y f x= ( )có đồ thị như hình vẽ bên.Đồ thị hàm ()( )( )2 2 2 4 3 2 x x x x y x f x f x + + + = − có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? A.2 . B. 3. C. 4 . D. 6 . (11) Ta thấy phương trình bậc ba f x = có 3 nghiệm phân biệt là (2)x c1= < −3,2 x b=. với 3− < < −b 1 vàx = −31.Và phương trình bậc ba f x =( )0có nghiệm képx = −3và nghiệm đơnx a=với 1− < Do lim ( )x→+∞ f x = −∞ và xlim→−∞ f x ( )= +∞ nên khơng mất tính tổng qt, ta giả sử( )()2()030f x= ⇔ − +xx a− =vàf x( )= ⇔ − −2(x c x b x)(−)(+ =1 0).Ta có: ()( )( )()(( )) (( ))2 2 2 4 3 1 3 1 . . 2 2 x x x x x x x x y x f x f x x f x f x + + + + + + = = − − . Khi đó: ()()( )( )0 0 1 3 1 lim lim . . 2 x x x x x y x f x f x + + () ()()()( )3 3 1 1 lim lim 3 . 2 x x x x x y x x x a f x + + ()() ()( )(1 3)()(1)lim lim . 1 x c x c x x x x y x f x x c x b x + + ()() ()( )()()()1 3 1 lim lim . 1 x b x b x x x x y x f x x c x b x + + () ()( )()()1 1 3 1 lim lim 0 . x x x x x y x f x x c x b − − x→−+ y không tồn tại. Vậy đồ thị hàm số ()( )( )2 2 2 4 3 x x x x y x f x f x + + + = − có 4 đường tiệm cận đứng là x =0; x = − ; x c= ; x b= . (12) Câu 1. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như hình vẽ. Tìm m để đồ thị hàm số()y f x m= − có tiệm cận đứng là trục Oy ? A. 0 . B. −1. C. 2 . D. 1. Lời giải Đồ thị hàm số y f x= ( )có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1.Tịnh tiến theo véc tơ v= (m;0)thì:Đồ thị hàm số y f x= ( )biến thành đồ thị hàm số y f x m=(−).Tiệm cận x = −1 của đồ thị hàm số y f x= ( )biến thành tiệm cận x= − + của 1 mđồ thị hàm số y f x m= (−).Đồ thị hàm số y f x m= (−)có tiệm cận đứng là trục Oy⇔ − + = ⇔ =1 m 0 m 1Câu 2. Cho hàm số y f x ( )ax bx c + = = (13) A. 2 . B. 1. C. 3. D. −1. Lời giải Điền kiện: 0 x c ac b ≠ − − ≠ Hàm số y f x= ( )có tiệm cận đứng: x= −c; tiệm cận ngang: y a=Dựa vào đồ thị hàm số y f x= ( )ta nhận xét được:• 0 1 0 m > ⇔ >m 1 • Khi x= ⇒ = −0 y 2 b 2 c ⇒ = − ⇒ = −b 2c • Tiệm cận đứng: x= −1 m; tiệm cận ngang: y m= a m − = − = 1 c m = − ⇔ = ⇒ = − = −b 2c 2m+2 (thỏa điều kiện) Câu 3. Cho hàm số y (2m 1)x 3x m − − = − có đồ thị như hình dưới đây Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số A. 40 . B.0 . C. 1. D. 38. (14) Từ dạng đồ thị của hàm số ta suy ra ()()2()2 1 3 0 2 1 3 0 1 3 2 m m y m m m x m − − + ′ = > ⇒ − − + > ⇔ − < < − . Khi đó dễ thấy đồ thị có hai đường tiệm cận là x m= , y=2m−1 . (;2 1).Từ đồ thị và giả thiết kèm theo ta có : 2 1 0 0 y m x m = − > = > < ()1 19 20 m m m > − ≤ ≤ ∈ . Kết hợp với điều kiện trên ta suy ra m = . 1 Câu 4. Cho hàm số ( )nx 1x m y f x= = + + ; (mn ≠ xác định trên 1)R − , liên tục trên từng \ 1{ }khoảng xác định và có đồ thị như hình vẽ bên: Tính tổng m n+ ? A. m n+ =1. B. m n+ = −1. C. m n+ =3. D. m n+ = −3. Lời giải Đồ thị hàm số ( )nx 1x m + ; (mn ≠ có hai đường tiệm cận 1)x= − = −m 1;2 1 y n= = ⇒ =m ; n= ⇒ + = 2 m n 3 Dạng 3: Biết đồ thị của hàm số y f x= ( ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thịhàm số y g x= ( ), trong bài tốn khơng chứa tham số.Câu 1. Cho hàm số bậc ba f x ( )=ax bx cx d3+ 2 + +(a b c d ∈ có đồ thị như hình vẽ , , ,)(15) Hỏi đồ thị hàm số ( )()( )( )2 2 3 2 1 x x x g x x f x f x − + − = − có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Xét phương trình: ( )( )( )( )2 0 0 0 1 x x f x f x f x f x = − = ⇔ = = +) Từ điều kiện x≥ ⇒ =1 x 0 không là tiệm cận đứng. +) Từ đồ thị ⇒ phương trình ( )0(1)2 x a a x = < = ⇔ • x a= khơng là tiệm cận đứng. • x = là nghiệm kép và tử số có một nghiệm 2 x= ⇒ =2 x 2 là một đường +) Từ đồ thị ⇒ phương trình ( )()()1 1 1 2 2 f x x b b x c c = ⇔ = < < • x =1 khơng là tiệm cận đứng (vì tử số có một nghiệm nghiệm x =1) Vậy đồ thị hàm số g x ( )có 3 đường tiệm cận đứng.Câu 2. Cho hàm số bậc ba f x ( )=ax bx cx d3+ 2 + +(a b c d ∈, , ,)có đồ thị như hình vẽ(16) Hỏi đồ thị hàm số ( )(12)4 3 g x f x = − − có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Từ đồ thị ta có f (4−x2)− =3 0 ⇔ f(4−x2)=3 22 4 2 4 4 x − = − − = 6 x = ± = ⇒ đồ thị hàm số g x có ba đường tiệm cận đứng. ( )Lại có lim (4 2)x→±∞ f −x = −∞ ⇒xlim→±∞g x ( )=0 ⇒ =y 0 là đường tiệm cận ngang củađồ thị. Vậy đồ thị hàm số g x có bốn đường tiệm cận. ( )(17) Hỏi đồ thị hàm số ( )(1)2( )( )x x f x f x = + − có bao nhiêu tiệm cận đứng ? A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải Hàm số xác định ( )( )( )2 0 1 0 x f x f x ≥ − ≠ . Xét (x+1)f x2( )− f x( )=0 2 ( )( )1 0 x f x f x = − ⇔ − = ( )( )2 0 f x f x ⇔ − = ( )( )0 1 f x = ⇔ = . * Với f x = ( )0:Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x3 Từ điều kiện ( )1 thì phương trình f x =( )0 có 1 nghiệm x x= 1.* Với f ( )1 1= :Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x6 ( )1 thì phương trình f x = có 2 nghiệm( )1 x x= 5 và x x= 4 và cả 2nghiệm này đều khác x . 1 Suy ra phương trình (x+1)f x2( )− f x( )=0 có 3 nghiệm phân biệt. Vậy đồ thị hàm số ( )(1)2( )( )x x f x f x = + − có 3 tiệm cận đứng. (18) Hỏi đồ thị hàm số ( )()()( )( )2 2 2 1 3 3 x x x g x x f x f x − − = − + có bao nhiêu đường tiệm cận A. 5. B. 4 . C. 6 . D. 3. Lời giải Điều kiện hàm số có nghĩa ()2( )( )1 0 3 3 0 x x f x f x − ≥ − + ≠ ( )()2( )( )1 * 3 3 0 x x f x f x ≤ − + ≠ Xét phương trình (x−3)f x2( )+3f x( )=0 ( )( )3 0 x = ⇔ = = − Từ đồ thị hàm số y f x= ( )suy ra f x = có 3 nghiệm( )0 − < <1 x x1 2 < <1 x3( )3f x = − có hai nghiệm x < và 4 1 x = 5 2 Kết hợp với điều kiện ( )* phương trình(x−3)f x2( )+3f x( )=0 có nghiệm 1, ,2 5 x x x . Và x1, x , 2 x không là nghiệm của tử nên hàm số 5 g x có 3 đường tiệm cận ( )đứng. Câu 5. Cho hàm số bậc ba ( )3 2y f x= =ax bx cx d+ + + có đồ thị là ( )()( )()( )2 2 2 4 3 2 x x x x g x x f x f x + + + = − có bao nhiêu đường tiệm cận A. 4 . B. 5. C. 6. D. 3. (19) Chọn B ( )( )( )( )2 2 0 0 1 0 0 2 0 2 x x x x x f x f x f x f x > ≠ ≤ − Từ đồ thị hàm số y f x= ( )ta thấy phương trình f x = có nghiệm( )0 x = −3 (bội2), và nghiệm x x= 0; x ∈ −0 (1;0)nên :( )() ()2 3 f x =a x+ x x− Đường thẳng y = cắt đồ thị 2 y f x= ( )tại ba điểm phân biệt có hồnh độ x = −1;1 x x= ; x ∈ − −1 (3; 1);x x= 2;(x < −2 3). Nên f x( )− =2 a x(+1)(x x x x− 1)(− 2).Do đó: ( )()( )()( )()( ) ( )2 2 2 2 2 4 3 4 3 . 2 2 x x x x x x x x g x x f x f x x f x f x + + + + + + ()()() () ()()()()()()()2 2 2 2 0 1 2 0 1 2 1 3 3 . 3 . . 1 x x x x x x a x x x x x x x x x a x x x a x x x x x + + + + = = + − − − + − + − − . Ta có: ( )()()()()2 0 0 0 1 2 1 x g x a x x x x x x x x + + → → + = = = +∞ + − − − nên x = là 0 một đường tiệm cận đứng của đồ thị y g x= ( )+)Các đường thẳng x = −3; x x= 1; x x= 2 đều là các đường tiệm cận đứng của đồ ( )Do đó đồ thị y g x= ( )có 4 đường tiệm cận đứng.+) Hàm số y g x= ( )xác định trên một khoảng vô hạn và bậc của tử nhỏ hơn bậccủa mẫu nên đồ thị y f x= ( )có một đường tiệm cận ngang y =0.Vậy đồ thị hàm số y g x= ( )có 5 đường tiệm cận.Câu 6. Cho hàm bậc ba y f x= ( )=ax bx cx d3+ 2+ + . Đồ thị y f x=( )như hình vẽ. Tìmsố đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số ()(( )( ))4 2 2 4 3 1 2 x x y x f x f x − + = (20) A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Lời giải ( )3 2f x =ax bx cx d+ + + Dựa vào đồ thị của y f x= ( ), ta có( )( )( )( )1 4 0 2 1 0 2 4 f f f f − = = = = ⇔ 4 2 0 8 4 2 4 a b c d a b c d a b c d − + − + = Do đó f x ( )=x3−3x+ =2(x−1) (2 x+2)Xét hàm số ()(( )( ))(() ( ) ( ))(())2 2 4 2 2 1 3 4 3 1 . . 2 1 2 x x x x y x f x f x x f x f x − − ()()() () ()()()() ()2 2 2 2 2 1 3 1 1 . 1 . 2 . . 3 1 . 2 . x x x x x x x x x x x − − + = = − − + − − + Hàm số có các đường tiệm cận đứng là x =0; x =1; x = −2 và đường tiệm cận (21) Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số: ( )( )2 x f x = + A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 1. Lời giải Từ đồ thị ta có: f x + = ( )2 0 ⇔ f x( )= −2()()()2 2 0 0 x a a x b b x c c = < − ⇔ = − < < Kết hợp với điều kiện có nghĩa của x suy ra đồ thị hàm số g x có ( )1 tiệm cậnđứngx c c= (>0).Hàm số ( )( )2 x g x f x + có bậc của tử bé hơn bậc của mẫu (Hàm số có bậc tử là 2 cịn bậc mẫu là 3) suy ra đồ thị hàm số g x có ( )1 tiệm cận ngang là y =0 .Vậy đồ thị hàm số ( )( )2x g x f x = + có hai đường tiệm cận. (22) Hỏi đồ thị hàm số ()()( )( )2 2 2 4 2 2 3 x x x y f x f x − + = + − có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? A. 4. B. 5. C. 3. D. 2. Lời giải Xét phương trình ( )( )( )( )2 2 3 0 1 3 f x f x f x f x = + − = ⇔ = − 1 2 0; 2; 2 2; 2 x x x x x x x = = < − = > ⇔ = − = Trong đó nghiệmx = , 0 x = −2, x = đều có bội 2 2 và x x x= 1 (1< − ; 2)()2 2 2 x x x= > là nghiệm đơn (bội 1). So sánh bội nghiệm ở mẫu và bội nghiệm ở tử thì thấy đồ thị có các TCĐ là x = ; 0 x = ; x x= 1; x x= 2 (23) Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( )( )23 2 g x f x = − A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta có: ( )( )2 2lim 3. 1 2 5 x→−∞g x = − − = − ( )2lim 2 3.1 2 Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang. ( )2 0( )23 f x − = ⇔ f x = Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: phương trình ( )23 f x = có duy nhất một nghiệm. Vậy hàm số có 3 đường tiệm cận. Dạng 4: Biết đồ thị của hàm số y f x= ( ), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thịhàm số y g x= ( ), trong bài toán chứa tham số.Câu 1. Cho hàm số f x ( )=ax bx c4+ 2+ có đồ thị như hình vẽ. xy-1 1Số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số ( )( ) ( )2020xg x f x f x m = − có tổng số 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là (24) Lời giải Ta có g x là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên ( )( )lim 0 x→±∞g x = , do đó đồ thị hàm số g x ( )ln có một tiệm cận ngang là y =0.Phương trình ( )(( ))( )1 1 2 3 4 ; 2 1 1;0 0;1 x x x x x x x = − < < − = ∈ − = ⇔ = ∈ . Ta thấy phương trình f x = có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên ( )0 x x= 1,2 x x= , x x= 3, x x= 4 là 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số g x . ( )Vậy để đồ thị hàm số g x ( )có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thìphương trình f x ( )=m phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4nghiệm x i =i (1,4)1 2 0 m − < < ⇔ ≠ mà m∈ nên m = . 1 Câu 2. Cho hàm số f x ( )=x2−2x có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị m để đồthị hàm số g x ( )(f x( ))f x m = + có số tiệm cận là số lẻ. A. m ≠ và 2 m ≠ . 0 B. m ≠ − và 2 m ≠ . 0 C. m ≠0. D. m ≠ ± . 2 Lời giải Ta có: ( )() ()()2 2 2 f x x x f x m x m x m − (25) 2 2 0 0 2 x − x= ⇔ = ∨ =x x . ()2()2 0 2 x m+ − x m+ = ⇔ = − ∨ = −x m x m. Vì lim (( ))1x f x →±∞ + = , * m ∀ ∈ nên hàm số g x ( )(f x( ))f x m = + ln có 1 tiệm cận Với m = , ta có 0 (f x( ))1f x m+ = , ∀ ∈ x \ 0;2 { }. Suy ra đồ thị hàm số( )(f x( ))g x f x m = + khơng có tiệm cận đứng. Do vậy với m =0, đồ thị hàm số ( )( )(f x)g x f x m = + có 1 tiệm cận. Với m = , ta có 2 (( )) ()()()()2 2 2 2 2 2 2 2 f x x x x x f x m x x x x − = = + + − + + có tập xác định là {}\ 2;0 D = − . Có (( ))(())2 2 2 lim lim 2 x x f x x x f x m x x →− →− ( )()(())0 0 0 2 2 lim lim lim 1 2 2 x x x f x x x x f x m x x x → → → − − = = = − + + + . Do đó đồ thị hàm số (f x( ))f x m+ có 2 tiệm cận (1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang). Với m = −2, ta có ( )() ()()(()())2 2 2 2 2 4 2 2 2 f x x x x x f x m x x x x − = = + − − − − − , có tập xác định { }\ 2;4 D = . Có (( ))(()())2 2 2 2 lim lim lim 1 2 4 4 x x x f x x x x f x m x x x → → → ( )()(()())4 4 2 lim lim 2 4 x x f x x x f x m x x → → − = = ∞ + − − . Do đó đồ thị hàm số ( )(f x)(26) Với m ≠0 và m ≠ ±2, ta có −m và 2 m− không là nghiệm của x2−2x. Suy ra đồ thị hàm số (f x( ))f x m+ có 2 tiệm cận đứng là x= −m và x= −2 m. Do vậy đồ thị ( )(f x)f x m+ có 3 tiệm cận. Vậy với m ≠ ± , đồ thị hàm số 2 ( )(f x)f x m+ có số tiệm cận là số lẻ. Câu 3. Cho hàm số g x ( )( )20182h x m m = − − với ( )4 3 2 h x =mx +nx +px +qx (m n p q ∈ . Hàm số , , ,)y h x= ′( )có đồ thị như hình vẽ bên dướiTìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y g x= ( )là 2.A. 11. B. 10. C. 9. D. 20 . Lời giải Chọn B Ta có h x′ ( )=4mx3+3nx2+2px q+ . Từ đồ thị ta có( )1 4 x h x x x = − ′ = ⇔ = và (m < . 0)Suy ra ( )4(1)5(3)4 3 13 2 2 154 h x′ = m x+ x− x− = mx − mx − mx+ m . Suy ra ( )4 13 3 2 153 h x =mx − mx mx− + mx C+ . Từ đề bài ta có C =0. Vậy ( )4 13 3 2 153 h x =mx − mx mx− + mx. Xét ( )2 0 4 13 3 2 15 13 (27) Xét hàm số ( )4 13 3 2 15 13 f x =x − x −x + x− ⇒ f x′ ( )=4x3−13x2 −2 15 0x+ =1 x = − ⇔ = . Bảng biến thiên Để đồ thị hàm số g x có 2 đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình ( )( )2 0h x m m− − = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình 4 13 3 2 15 1 3 m x= − x −x + x− có 2 nghiệm phân biệt. Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m <0 ta có 35 1 3 m − < < − . Do m nguyên nên m∈ − {11; 10;...; 2− −}. Vậy có 10 số nguyên m thỏa mãn yêucầu bài toán. Câu 4. Cho hàm số y f x= ( )=ax bx cx d3+ 2+ +(a ≠0)có đồ thị như hình vẽ bên dướiTìm m để đồ thị hàm số ( )(2)1 g x f x m = − − có đúng 6 tiệm cận đứng? A. m ≤0. B. − ≤ ≤2 m 0. C. − < < −3 m 1. D. 0< (28) Chọn D Xét hàm số h x ( )= f x(2−3)⇒h x′( )=2 .x f x′(2 3)− ( )()22 2 0 0 0 3 1 2 3 0 2 x x h x x x f x x = ′ ⇒ = ⇔ ′ ⇔ − = − ⇔ = ± − = − = = ± Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số ( )(2)1 g x f x m = − − có đúng 6 tiệm cận ( )=m có 6 nghiệm phân biệt ⇔ 0<Câu 5. Cho hàm số f x ( )=mx nx3+ 2+ px q+(m n p q ∈, , ,)có đồ thị như hình vẽ bêndưới Tìm số giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )( )22019 g x f x mx m = − − là 3 A. 31. B. 8. C. 9. D. 30. (29) Chọn B Từ đồ thị ta có ( )1 0 1 3 x f x x x = − = ⇔ = = và m >0. Suy ra f x ( )=m x(+1)(x−1)(x− =3)mx3−3mx mx2− +3m.Xét f x m ( )− 2−8mx=0⇔ =m x3−3x2−9x+4.Xét hàm số y x= 3−3x2−9x+4 3 2 6 9 0 1 3 x y x x x = − ⇒ = − − = ⇔ = . Bảng biến thiên Để đồ thị hàm số g x có ( )3 đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình( )2 8 0f x m− − mx= có 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình 3 3 2 9 4 m x= − x − x+ có 3 nghiệm phân biệt. Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m >0 ta có 0< Do m nguyên nên m∈ {1;2;...;8}. Vậy có 8 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bàitoán. Câu 6. Cho hàm số ( )( )22018 g x h x m m = − − với ( )4 3 2(30) Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g x ( )là 2A. 11. B.10. C. 9. D. 20 . Lời giải Ta có h x′ ( )=4mx3+3nx2+2px q+ . Từ đồ thị ta có( )1 4 x h x x x = − ′ = ⇔ = và (m < .0)Suy ra ( )4(1)5(3)4 3 13 2 2 154 h x′ = m x+ x− x− = mx − mx − mx+ m . Suy ra ( )4 13 3 2 153 h x =mx − mx mx− + mx C+ . Từ đề bài ta có C =0. Vậy ( )4 13 3 2 153 h x =mx − mx mx− + mx. Xét ( )2 0 4 13 3 2 15 13 h x m m− − = ⇔ =m x − x −x + x− . ( )4 3 2( )3 21 13 15 1 4 13 2 15 0 5 3 4 3 x f x x x x x f x x x x x x = − ′ = − − + − ⇒ = − − + = ⇔ = . (31) Để đồ thị hàm số g x có 2 đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình ( )( )2 0h x m m− − = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình 4 13 3 2 15 1 3 m x= − x −x + x− có 2 nghiệm phân biệt. Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m <0 ta có 35 1 3 m − < < − . (32) Câu 1. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị hàm số như sau: x -4 O 1 ( )2 2f x m = − có đúng ba đường tiệm cận đứng? A.m = 1 B.m =2 C.m =0 D.m = ±2 Lời giải y = 4 x O 1 Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng khi phương trình f x ( )−m2 =0 có 3nghiệm phân biệt ⇔ Đồ thị hàm số y= f x ( )và đường thẳng y m= 2 có 3 giao điểm.Dựa vào ĐTHS đã cho suy ra m = 2 4 ⇔ = ±m 2 (33) Số giá trị nguyên của m∈ − [10;1]để đồ thị hàm số( )( )2 3( )21 x x g x f x m f x − + = − − có đúng bốn đường tiệm cận đứng là : A. 9. B. 12. C.11. D. 10. Lời giải Chọn C ( )()(( ))( )( )2 1 * 3 2 0 2 * 1 0 1 x x x f x m f x = = = − − = ⇔ = Nhìn vào đồ thị hàm số ta có ( )( )()( )1;2 1 ;2 2;3 x a f x x b a x c = ∈ = ⇔ = ∈ .(có ba tiệm cận) Suy ra đồ thị hàm số y g x= ( )có đúng 4 tiệm cận đứng với m∈ −[10;1]là[10;0]m∈ − Do đó số giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài tốn là 11 số. (34) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2019;2020]để đồ thịhàm số y f x= (2−2x m m+)− có 5 đường tiệm cận?A. 4038. B. 2019. C. 2020. D. 4040. Lời giải Từ đồ thị hàm số y f x= ( )ta suy ra f x có tập xác định( )D =\ 1{ }± và cácgiới hạn: lim ( )0x→±∞ f x = , xlim→−1+ f x ( )= +∞ , xlim→−1− f x( )= −∞ , limx→1+ f x( )= +∞ ,( )1 lim x→− f x = −∞. Vì hàm số t x= 2−2x m+ xác định trên nên hàm số y f x= (2−2x m m+)−xác định 22 2 1 2 1 x x m x x m − + ≠ − + ≠ − Vì lim (2 2)x→±∞ x − x m+ = +∞ nên ()( )2 lim 2 lim x→±∞f x − x m m+ − =t→+∞f t m− = −m. Do đó đồ thị hàm số y f x= (2−2x m m+)− có đúng một đường tiệm cận ngang làđường thẳng y= −m (về cả hai phía x → +∞ và x → −∞ ). Để đồ thị hàm số y f x= (2−2x m m+)− có 5 đường tiệm cận thì nó phải có 4đường tiệm cận đứng. Điều kiện cần: 22 2 1 2 1 x x m x x m − + = − + = − phải có 4 nghiệm phân biệt ()()2 2 1 2 1 x m x m − = − + − = − có 4 nghiệm phân biệt 2 0 0 0 m m − + > ⇔− > ⇔ < . Điều kiện đủ: Giả sử x1, x 2 (x x1< 2)là hai nghiệm phân biệt của phương trình2 2 1 x − x m+ = ; x , 3 x là hai nghiệm phân biệt của phương trình 4 2 2 1 x − x m+ = − . Xét đường thẳng x x= 1, ta có ()( )1 2 1 lim 2 lim x x→ f x − x m m+ − =t→±f t m− = ±∞. Suy ra đường thẳng x x= 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (2 2)y f x= − x m m+ − . Tương tự các đường thẳng x x= 2, x x= 3, x x= 4 cũng là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x= (2−2x m m+)− .Vậy để đồ thị hàm số y f x= (2−2x m m+)− có 5 đường tiệm cận thì m <0 .(35) Câu 4. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như hình vẽHỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y= f x (−16 10)+ −m2có tiệm cận ngang nằm phía dưới đường thẳng :d y =8 (không trùng với d). A. 8 B. 2 C. 6 D. 4 Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số g x ( )= f x(−16 10)+ −m2 có được bằng cách thực hiện liên tiếp 2phép tịnh tiến là tịnh tiến theo phương trục hoành sang phải 16 đơn vị và theo (10 m− 2)đơn vị.Từ hình vẽ: lim (16)lim( )1x→±∞ f x− =x→±∞ f x = − ( )2 lim 9 x→±∞g x m ⇒ = − Do vậy đồ thị hàm số g x có một tiệm cận ngang là ( )y= −9 m2, ta có 2 TH sau:+) TH 1: Nếu 9−m2 <0 thì tiệm cận ngang của đồ thị y g x= ( )là y m= 2− <9 82 9 m 17 mà m∈ , nên m = ± 4 +) TH 2: Nếu 9−m2 ≥0 thì tiệm cận ngang của đồ thị y g x= ( ) là y= −9 m2 <8 2 (36) mà m∈, nên m = ±2, m = ±3 +) KL: có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra. Câu 5. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như sauTìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số y ( )1f x m = − có hai tiệm cận đứng? A. m =4 hoặc m < −5. B. m =4. C. m = −5. D. 5 m 4 − < < . Lời giải Chọn A Ta có f x m ( )− = ⇔0 f x( )=m.Ta cần tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thực. Câu 6. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như hình vẽ dưới. Hỏi có bao nhiêu giá trị củatham số m để đồ thị hàm số y= f x ( )+3 8−m + m+ −1 4 có đúng một tiệm cậnngang? A. 0. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải O x y 1 5 (37) Chọn C Để đồ thị hàm số y= f x ( )+38−m + m+ −1 4 có đúng một tiệm cận ngang thìđồ thị hàm số y f x= ( )+3 8−m + m+ −1 4 có hai tiệm cận ngang đối xứngnhau qua trục hồnh , khi đó từ đồ thị hàm số y f x= ( )ta tịnh tiến xuống đúng 1đơn vị. Vậy 3 8−m + m+ − = −1 4 1. Giải 3 8−m + m+ =1 3 ta đặt u=3 8 m − ;v= m+1 (v ≥ 0)Khi đó ta có hệ: 3 2 3 2 ()0 3 3 3 2 9 6 0 3 u v u u u v u u v u u u u = = − ≤ + = ⇔ ⇒ = + = + − = = − tìm được ba giá trị m là 0; 8; 35. Câu 7. Cho hàm số y f x= ( )có đồ thị như hình vẽ dưới đây.Tìm m để đồ thị hàm số y g x= ( )= f x m |
