Điểm cực đại của đồ thị hàm số là gì

Đáp án C.

y = x3 + 3x2 + 2 suy ra y’ = 3x2 + 6x; y’’ = 6x + 6

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là [-2;6].

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = x4 + 2x2 + 3

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 2:

Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị A[0;0], B[1;1] thì các hệ số a, b, c, d có giá trị lần lượt là:

A. a = -2; b = 1; c = 0; d = 0

B. a = 0; b = 0; c = -2; d = 3.

C. a = -2; b = 0; c = 3; d = 0

D. a = -2; b = 3; c = 0; d = 0

Câu 3:

Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = [x + 1][x – 2]2

A. 52

B. 2

C. 25

D. 4

Câu 4:

Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 4 là:

A. [2;4]

B. [2;0]

C. [0;-4]

D. [0;4] 

Câu 5:

Đồ thị hàm số y = x4 – 3x2 + ax + b có điểm cực tiểu A[2;-2]. Tính tổng [a + b]

A. -14

B. 14

C. -20

D. 34

Câu 6:

Hàm số y = x – sin 2x đạt cực đại tại các điểm nào cho dưới đây?

A. x = -π/3 + kπ, k ∈ Z.

B. x = π/3 + kπ, k ∈ Z.

C. x = π/6 + kπ, k ∈ Z.

D. x = -π/6 + kπ, k ∈ Z.

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,128,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,102,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,268,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,952,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,385,Đề thi thử môn Toán,51,Đề thi Tốt nghiệp,43,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,216,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,190,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,356,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,200,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,65,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,290,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,7,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,13,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,10,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,135,Toán 11,174,Toán 12,373,Toán 9,66,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,5,Tổ hợp,37,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,271,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

11:35:4511/06/2020

Vậy bài tập về cực trị của hàm số có những dạng phổ biến nào? Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này. Trước khi vào nội dung chính, chúng ta cần tóm tắt lại một số kiến thức cơ bản về cực trị của hàm số.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cực hay

I. Kiến thức về cực trị của hàm số cần nhớ

1. Định nghĩa cực trị hàm số:

- Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trên khoảng [a;b] [a có thể là −∞, b có thể là +∞] và điểm x0 ∈ [a;b].

a] Nếu tồn tại số h>0 sao cho f[x]0 sao cho f[x]>f[x0] với mọi x ∈ [x0 - h; x0 + h] và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f[x] đạt cực tiểu tại x0.

* Chú ý:

• Nếu hàm số f[x] đạt cực đại [cực tiểu] tại x0 thì:

  x0 được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của hàm số. 

  f[x0] được gọi là giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] của hàm số, ký hiệu: fCĐ [fCT]

  M[x0;f[x0]] gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của đồ thị.

• Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

  Giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] còn gọi là cực đại [cực tiểu] và gọi chung là cực trị của hàm số.

• Nếu hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng [a;b] và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f'[x0] = 0.

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

• Khi f'[x] đổi dấu từ dương sang âm qua x = c thì x = c được gọi là điểm cực đại của hàm số.

• Khi f'[x] đổi dấu từ âm sang dương qua x = c thì x = c được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.

3. Cách tìm cực trị [Quy tắc tìm cực trị] của hàm số

* Quy tắc tìm cực trị 1:

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bước 2: Tính f'[x]. Tìm các điểm tại đó f'[x] = 0 hoặc f'[x] không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên

- Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra cực trị

* Quy tắc tìm cực trị 2:

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bước 2: Tính f'[x]. Giải phương trình f'[x] = 0 tìm các nghiệm xi [i=1,2,...]

- Bước 3: Tính f''[x] và tính các giá trị f''[xi]

- Bước 4: Dựa vào dấu của f''[xi] suy ra tính chất cực trị tại xi.

II. Các dạng bài tập về cực trị [cực đại, cực tiểu] của hàm số.

° Dạng 1: Xác định điểm cực trị, tìm điểm cực trị của hàm số

* Ví dụ 1 [Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12]: Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a] y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

b] y = x4 + 2x2 - 3

c] 

d] y = x3[1 - x]2

e] 

* Lời giải:

a] y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

- TXĐ: D = R

- Ta có y' = 6x2 + 6x - 36

- Cho y' = 0 ⇔ 6x2 + 6x - 36 = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

- Bảng biến thiên:

- Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; yCĐ = 71; và đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.

b] y = x4 + 2x2 - 3

- TXĐ: D = R

- Ta có: y'= 4x3 + 4x = 4x[x2 + 1];

- Cho y' = 0 ⇔ 4x[x2 + 1] = 0 ⇔ x = 0

- Bảng biến thiên:

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3; Hàm số không có điểm cực đại.

c] 

- TXĐ: D = R{0}

- Ta có: 

- Bảng biến thiên:

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = -2; và đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2.

d] y = x3[1 - x]2

- TXĐ: D = R

- Ta có: y'= [x3]’.[1 – x]2 + x3.[[1 – x]2]’

  = 3x2[1 – x]2 + x3.2[1 – x][1 – x]’

  = 3x2[1 – x]2 - 2x3[1 – x]

  = x2[1 – x][3 – 5x]

- Cho y' = 0 ⇔ x2[1 – x][3 – 5x] = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

- Bảng biến thiên:

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực đại tại 

 và đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 0.

* Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.

e] 

- TXĐ: D=R

- Ta có: 

- Bảng biến thiên:

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại 

* Ví dụ 2 [Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12]: Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a] y = x4 - 2x2 + 1

b] y = sin2x – x

c] y = sinx + cosx

d] y = x5 - x3 - 2x + 1

* Lời giải:

a] y = x4 - 2x2 + 1

- TXĐ: D = R.

- Ta có: y' = 4x3 - 4x = 0 ⇔ 4x[x2 – 1] = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

- Ta có: y" = 12x2 - 4. Tính y'' tại các điểm x = 0 và x = ±1.

 y"[0] = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số, yCĐ = 1

 y"[1] = 8 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số, yCT = 0

 y"[-1] = 8 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số, yCT = 0

b] y = sin2x – x

- TXĐ: D = R

- Ta có: y' = 2cos2x – 1 = 0

 

 

- Ta có: y'' = -4sin2x. Tính y'' tại 

 là các điểm cực đại của hàm số

 là các điểm cực tiểu của hàm số

c] y = sinx + cosx

- TXĐ: D=R

- Ta có: y' = cosx - sinx = 0

- Ta có: 

- Kết luận: Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm 

 và đạt cực tiểu tại các điểm 

d] y = x5 - x3 - 2x + 1

- TXĐ: D = R

- Ta có: y'= 5x4 - 3x2 - 2 = 0

  ⇔ [x2 - 1][5x2 + 2] = 0

  ⇔ x2 - 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1

- Ta có: y" = 20x3 - 6x

 y"[-1] = -20 + 6 = -14 < 0

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

 y"[1] = 20 – 6 = 14 > 0

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

* Nhận xét: Theo kinh nghiệm thì các hàm vô tỉ thông thường các em nên áp dụng quy tắc 1, còn đối với các hàm

° Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị [Tìm m để hàm có có cực đại, cực tiểu].

* Ví dụ 1 [Bài 4 trang 18 SGK Giải tích 12]: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x3 - mx2 - 2x + 1; luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

° Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: y' = 3x2 - 2mx – 2 = 0

- Ta có: y’’ = 6x – 2m.

 là điểm cực đại của hàm số.

 là điểm cực tiểu của hàm số

- Kết luận: Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.

* Ví dụ 2 [Bài 6 trang 18 SGK Giải tích 12]: Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số 

 đạt giá trị cực đại tại x = 2.

* Lời giải:

a] TXĐ: D=R{-m}

 

* Cách 1 [áp dụng quy tắc 1]:

- Ta có bảng biến thiên sau:

- Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1, mà theo bài ra hàm số đạt cực đại tại x = 2, nên ta có: -m – 1 = 2 ⇔ m = -3 ⇒ yCT = 1

* Cách 2 [áp dụng quy tắc 2]:

- Tính y'', có: 

- Hàm số đạt cực đại tại 

+] 

+] 

- Đối chiếu điều kiện ta thấy m=-1 [loại], m=-3 [thỏa mãn]

- Với m=-3 ⇒ yCT = 1 

° Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số đã cho có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

* Ví dụ 1[Bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12]: Tìm a và b để các cực trị của hàm số

 đều là những số dương và xo = -5/9 là điểm cực đại.

* Lời giải:

- TXĐ: D = R.

- Ta có: y’ = 5a2x2 + 4ax – 9.

 ⇒ y’’ = 10a2x + 4a.

¤ Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số không có cực trị [loại]

¤ Nếu a ≠ 0 ta có: y’ = 5a2x2 + 4ax – 9 = 0

- Ta có: 

- Theo yêu cầu bài ra, thì hàm số đạt cực đại tại x0 = -5/9:

 

 - Hàm số đã cho có cực trị đều dương ⇔ yCT > 0.

» Với 

, do đó:

 

 

» Với

, do đó:

 

 

- Kết luận: Vậy các giá trị a,b cần tìm là: 

 hoặc 

* Ví dụ 2:Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số  y = x4 - 8m2x2 + 3 có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

° Lời giải:

- TXĐ: D=R

- Ta có: y' = 4x[x2 - 4m2]

- Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0.

- Khi đó, các điểm cực trị là A[2m;-16m2+3]; B[0;3]; C[-2m;-16m2+3]

 Nên BC = BA, tam giác ABC cân tại B. Để tam giác ABC vuông cân thì:

 

- Kết luận: Với m = ±1/8 thì hàm số trên có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Hy vọng với bài viết về cách tìm cực trị của hàm số [cự đại và cự tiểu] ở trên đã giúp các em nắm vững hơn nội dung này. Như đã nói ở trên, nội dung này thường xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia, nên các em cần chú ý làm nhiều bài tập để rèn kỹ năng giải nhanh và chính xác nhé. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để  ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.