Đề bài - đề kiểm tra 15 phút - đề số 1 - bài 4 - chương 1 - hình học 9

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AH, BK và CI.

a. Chứng minh rằng: \(AI.BH.CK \)\(\,= AB.BC.CA.\cos A.\cos B.\cos C\)

b. Cho \(\widehat A = 60^\circ \) và \({S_{ABC}} = 160c{m^2}.\) Tính \({S_{AIK}}\)

Lời giải chi tiết

a. Ta có: \(AIC\) vuông tại I:

\(AI = AC.\cos A\)

Tương tự các tam giác AHB, BKC vuông,

ta có: \(BH = AB.\cos B; CK = BC.\cos C\)

Do đó: \(AI.BH.CK \)\(\,= AB.BC.CA.\cos A.\cos B.\cos C\).

b. Tam giác AKB đồng dạng với tam giác AIC (g-g) (do có góc A chung và\(\widehat I = \widehat K = {90^0}\))

Suy ra\(\frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AC}}\)

Kết hợp với góc A chung suy ra \(AIK\) đồng dạng \(ACB\) (c.g.c)

\( \Rightarrow {{{S_{AIK}}} \over {{S_{ACB}}}} = {\left( {{{AK} \over {AB}}} \right)^2}\)

\(AKB\) vuông tại K có \(\widehat A = 60^\circ \) (gt) \( \Rightarrow {{AK} \over {AB}} = {1 \over 2}\)

Vậy: \({{{S_{AIK}}} \over {{S_{ACB}}}} = {\left( {{1 \over 2}} \right)^2} = {1 \over 4} \)

\(\Rightarrow {S_{AIK}} = {{{S_{ACB}}} \over 4} = {{160} \over 4} = 40\,\left( {c{m^2}} \right)\)