Đề bài - bài 3.31 trang 151 sbt hình học 11

Đề bài

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm Ovà có cạnh SAvuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử \(\left( \alpha \right)\)là mặt phẳng đi qua Avà vuông góc với cạnh SC, \(\left( \alpha \right)\)cắt SCtại I.

a) Xác định giao điểm Kcủa SOvới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

b) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và \(B{\rm{D}}\parallel \left( \alpha \right)\).

c) Xác định giao tuyến dcủa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi I là giao điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)với cạnh SC. Ta có \(\left( \alpha \right) \bot SC,AI \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow SC \bot AI\). Vậy AIlà đường cao của tam giác vuông SAC. Trong mặt phẳng (SAC), đường cao AIcắt SOtại Kvà \(AI \subset \left( \alpha \right)\), nên Klà giao điểm của SOvới \(\left( \alpha \right)\).

b) Ta có

\(\left. \matrix{
B{\rm{D}} \bot AC \hfill \cr
B{\rm{D}} \bot SA \hfill \cr} \right\} \Rightarrow B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right)\)

\( \Rightarrow B{\rm{D}} \bot SC\)

Mặt khác \(B{\rm{D}} \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\)nên \(\left( {SB{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

Vì \(B{\rm{D}} \bot SC\)và \(\left( \alpha \right) \bot SC\)nhưng BDkhông chứa trong \(\left( \alpha \right)\)nên \(B{\rm{D}}\parallel \left( \alpha \right)\)

c) Ta có \(K = SO \cap \left( \alpha \right)\)và SOthuộc mặt phẳng (SBD) nên Klà một điểm chung của \(\left( \alpha \right)\)và (SBD).

Mặt phẳng (SBD) chứa \(B{\rm{D}}\parallel \left( \alpha \right)\)nên cắt theo giao tuyến \(d\parallel B{\rm{D}}\). Giao tuyến này đi qua Klà điểm chung của \(\left( \alpha \right)\)và (SBD).

Gọi Mvà Nlần lượt là giao điểm của dvới SB và SD.

Ta được thiết diện là tứ giác AIMN vuông góc với SCvà đường chéo MNsong song với BD.