Đề bài - bài 2.50 trang 84 sbt hình học 11
\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {ME} ^2} + 2\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {EA} + {\overrightarrow {EA} ^2}\\ + {\overrightarrow {ME} ^2} + 2\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {EB} + {\overrightarrow {EB} ^2}\\ = 2M{E^2} + 2\overrightarrow {ME} \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + E{A^2} + E{B^2}\\ = 2M{E^2} + 0 + \frac{1}{4}A{B^2} + \frac{1}{4}A{B^2}\\ = 2M{E^2} + \frac{1}{2}A{B^2}\end{array}\) Đề bài Cho tứ diện \(ABCD\). Tìm vị trí điểm \(M\) trong không gian sao cho: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\)đạt giá trị cực tiểu. Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng tính chất: Cho \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\). Với điểm \(M\) bất kì ta luôn có: \(MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{1}{2}AB^2\) Lời giải chi tiết Gọi \(\displaystyle E, F\) lần lượt là trung điểm của \(\displaystyle AB\) và \(\displaystyle CD\). Ta có: \(\begin{array}{l} Do đó, \(\displaystyle M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + {1 \over 2}A{B^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) \(\displaystyle M{C^2} + M{D^2} = 2M{F^2} + {1 \over 2}C{{\rm{D}}^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Cộng (1)và (2)ta có: \(\displaystyle M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\) \(\displaystyle = 2\left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) + {1 \over 2}\left( {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\,\,} \right)\,\,\) Gọi \(\displaystyle J\) là trung điểm của \(\displaystyle EF\), ta có: \(\displaystyle \left( {M{E^2} + M{F^2}} \right) = 2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}\) Khi đó: \(\displaystyle \eqalign{ Vậy \(\displaystyle M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\)đạt giá trị nhỏ nhất khi \(MJ = 0\) hay \(\displaystyle M \equiv J\).
|