Đề bài
Cho đường tròn [O] và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cắt MAB. Chứng minh MT2 = MA.MB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+ Chứng minh \[\Delta {\rm M}{\rm T}{\rm A} \backsim \Delta {\rm M}{\rm B}{\rm T}\] để suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Lời giải chi tiết
Xét \[\Delta MTA\] và \[\Delta MBT\] có \[\widehat {MTA} = \widehat {ABT}\] [do \[\widehat {MTA}\] là góc tạo bởi tiếp tuyến \[MT\] và dây cung \[AT\]; \[\widehat {ABT}\] là góc nội tiếp chắn cung \[AT\]] và \[\widehat M\] chung Vậy\[\Delta MTA \backsim \Delta MBT\left[ {g - g} \right]\]
Suy ra \[\dfrac{{MT}}{{MB}} = \dfrac{{MA}}{{MT}} \Leftrightarrow M{T^2} = MA.MB\] [đpcm]
Nhận xét: Đoạn thẳng MT được gọi là trung bình nhân của hai đoạn MA và MB.