Đề bài
Giải phương trình sau
\[{\sin}^2 x+{\sin}^2 2x={\sin}^2 3x\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giải phương trình bằng cách sử dụng
- Công thức hạ bậc \[{\sin}^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\]
- Công thức nhân đôi \[\cos 2x=1-2{\sin}^2 x\]
- Công thức biến đổi tổng thành tích \[\cos x - \cos y = - 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\] và\[\sin x - \sin y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\]
Lời giải chi tiết
Ta có:\[{\sin}^2 x+{\sin}^2 2x={\sin}^2 3x\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 2x}{2}+\dfrac{1-\cos 4x}{2}=\dfrac{1-\cos 6x}{2}\]
\[\Leftrightarrow 1-\cos 4x+\cos 6x-\cos 2x=0\]
\[\Leftrightarrow 2{\sin}^2 2x-2\sin 4x\sin 2x=0\]
\[\Leftrightarrow 2\sin 2x[\sin 2x-\sin 4x]=0\]
\[\Leftrightarrow 2\sin 2x[-2]\cos 3x\sin x=0\]
\[\Leftrightarrow \sin 2x\cos 3x\sin x=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\\cos 3x= 0\\\sin x=0\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\\cos 3x= 0\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\\3x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \]
Vậy nghiệm của phương là \[x = k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\] và \[x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\].