Đề bài
Xác định giá trị của tham số \[m\] để phương trình \[{x^3} + m{x^2} + x - 5 = 0\] có nghiệm dương.
A. \[m = 5\] B. \[m \in \mathbb{R}\]
C. \[m = - 3\] D. \[m < 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = + \infty \] và \[f\left[ 0 \right] < 0\] rồi kết luận.
Sử dụng lý thuyết: Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] xác định và liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\]. Nếu \[f\left[ a \right].f\left[ b \right] < 0\] thì tồn tại ít nhất một số thực \[c \in \left[ {a;b} \right]\] sao cho \[f\left[ c \right] = 0\].
Lời giải chi tiết
Xét hàm số \[y = f\left[ x \right] = {x^3} + m{x^2} + x - 5\] xác định và liên tục trên \[\mathbb{R}\] có:
\[f\left[ 0 \right] = - 5\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = + \infty \] nên sẽ tồn tại ít nhất một giá trị \[{x_0} > 0\] sao cho \[f\left[ {{x_0}} \right] > 0\].
Khi đó \[f\left[ 0 \right].f\left[ {{x_0}} \right] < 0\] nên tồn tại ít nhất một số thực \[c \in \left[ {0;{x_0}} \right]\] sao cho \[f\left[ c \right] = 0\] hay \[x = c > 0\] là nghiệm của phương trình \[f\left[ x \right] = 0\].
Vậy phương trình luôn có nghiệm \[x = c > 0\] với mọi \[m\].
Chọn B.