- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các phương trình sau
LG a
\[1+\sin x-\cos x-\sin 2x+2\cos 2x=0\]
Phương pháp giải:
Ta rút gọn phương trình bằng cách:
-Sử dụng công thức \[{[\sin x-\cos x]}^2\]
\[={\sin}^2 x-2\sin x\cos x+{\cos}^2 x\]
\[=1-\sin 2x\]
-Sử dụng công thức nhân đôi \[\cos 2x={\cos}^2 x-{\sin}^2 x\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[{[\sin x-\cos x]}^2\]
\[={\sin}^2 x-2\sin x\cos x+{\cos}^2 x\]
\[=1-\sin 2x\]
Do đó \[1-\sin 2x=[\sin x-\cos x]^2\]
Khi đó: \[1+\sin x-\cos x-\]
\[\sin 2x+2\cos 2x=0\]
\[\Leftrightarrow [1-\sin 2x]+[\sin x-\cos x]+2\cos 2x=0\]
\[\Leftrightarrow {[\sin x-\cos x]}^2+[\sin x-\cos x]\]
\[+2[{\cos}^2 x-{\sin}^2 x]=0\]
\[\Leftrightarrow [\sin x-\cos x][\sin x-\cos x+1\] \[-2[\cos x+\sin x]]=0\]
\[\Leftrightarrow [\sin x-\cos x][1-\sin x-3\cos x]=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x-\cos x=0 \\1-\sin x-3\cos x=0 \end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=\cos x \\\sin x+3\cos x=1 \end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=1 \text{[1]}\\\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin x+\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\text{[2]} \end{array} \right. \]
\[\text{[1]}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4 }+k\pi,k\in\mathbb{Z}\]
Giải phương trình \[\text{[2]}\] ta đặt \[\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\sin\alpha\] và \[\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\cos\alpha\] ta được \[\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\]
\[\Leftrightarrow \cos[x-\alpha]=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\]
\[\Leftrightarrow x-\alpha=\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}\]
\[\Leftrightarrow x=\alpha\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}\]
Vậy phương trình có nghiệm là: \[ x=\dfrac{\pi}{4 }+k\pi,k\in\mathbb{Z}\] và \[ x=\alpha\pm\arccos\dfrac{1}{\sqrt{10}},k\in\mathbb{Z}\].
LG b
\[\sin x-\dfrac{1}{\sin x}={\sin}^2 x-\dfrac{1}{{\sin}^2 x }\]
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Nhóm các số hạng với nhau để có nhân tử chung.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \[\sin x\ne 0\]
Ta có:\[\sin x-\dfrac{1}{\sin x}={\sin}^2 x-\dfrac{1}{{\sin}^2 x }\]
\[\Leftrightarrow [\sin x-{\sin}^2 x]+\]
\[{\left[{\dfrac{1}{{\sin}^2 x}-\dfrac{1}{\sin x}}\right]}=0\]
\[\Leftrightarrow \sin x[1-\sin x]+\dfrac{1-\sin x}{{\sin}^2 x}=0\]
\[\Leftrightarrow [1-\sin x][{\sin}^3 x+1]=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1 \\\sin x=-1 \end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\text{[thỏa mãn]} \\x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\text{[thỏa mãn]} \end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\].
LG c
\[\cos x\tan 3x=\sin 5x\]
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ
Sử dụng công thức \[\tan 3x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}\]
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \[\cos 3x\ne 0\]
\[\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\]
Ta có:\[\cos x\tan 3x=\sin 5x\]
\[\Leftrightarrow \cos x\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}=\sin 5x\]
\[\Leftrightarrow \cos x\sin 3x=\sin 5x\cos 3x\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}[\sin 4x+\sin 2x]\]
\[=\dfrac{1}{2}[\sin 8x+\sin 2x]\]
\[\Leftrightarrow \sin 8x=\sin 4x\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 8x=4x+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\8x=\pi-4x+k2\pi,k\in\mathbb{Z} \end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{12}+ k\dfrac{\pi}{6},k\in\mathbb{Z} \end{array} \right. \]
Kết hợp với ĐKXĐ ta được nghiệm của phương trình là \[ x=k\pi,k\in\mathbb{Z}\] và \[ x=\dfrac{\pi}{12}+ k\dfrac{\pi}{6},k\in\mathbb{Z}\].
LG d
\[2{\tan}^2 x+3\tan x+\]
\[2{\cot}^2 x+3\cot x+2=0\]
Phương pháp giải:
Tìm ĐKXĐ
Nhóm các số hạng một cách thích hợp để giải phương trình
Thêm bớt \[VT\] để có hằng đẳng thức
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \[\cos\ne0\] và \[\sin x\ne0\].
Ta có:\[2{\tan}^2 x+3\tan x+\]
\[2{\cot}^2 x+3\cot x+2=0\]
\[\Leftrightarrow [2{\tan}^2 x+2{\cot}^2 x]\]
\[+[3\tan x+3\cot x]+2=0\]
\[\Leftrightarrow 2[{[\tan x+\cot x]}^2-2\tan x\cot x]+\]
\[3[\tan x+\cot x]+2=0\]
\[\Leftrightarrow 2[{[\tan x+\cot x]}^2-2]+\]
\[3[\tan x+\cot x]+2=0\]
Đặt \[\tan x+\cot x=t\] ta được phương trình \[2t^2+3t-2=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-2\\t=\dfrac{1}{2}\end{array} \right. \]
Với \[t=-2\] ta có \[\tan x+\cot x=-2\]
\[\Rightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=-2\]
\[\Rightarrow {\tan}^2 x+1=-2\tan x\]
\[\Rightarrow \tan x=-1\]
\[\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\text{[thỏa mãn]}\]
Với \[t=\dfrac{1}{2}\] ta có \[\tan x+\cot x=\dfrac{1}{2}\]
\[\Rightarrow \tan x+\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{1}{2}\]
\[\Rightarrow 2{\tan}^2 x+2=\tan x\text{[Vô nghiệm]}\]
Vậy phương trình có nghiệm là \[ x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\].