Có tất ca bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 1/3x 3 mx^2 5mx 1 không có cực trị

Đáp án A.

Ta có: \[ {y}=8{{x}^{7}}+5\left[ m-3 \right]{{x}^{4}}-4\left[ {{m}^{2}}-9 \right]{{x}^{3}} \]

\[ {y}=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left[ m-3 \right]x-4\left[ {{m}^{2}}-9 \right] \right]=0 \]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & g[x]=8{{x}^{4}}+5\left[ m-3 \right]x-4\left[ {{m}^{2}}-9 \right]=0 \\ \end{align} \right. \]

Xét hàm số \[ g[x]=8{{x}^{4}}+5\left[ m-3 \right]x-4\left[ {{m}^{2}}-9 \right] \] có \[ {g}'[x]=32{{x}^{3}}+5\left[ m-3 \right] \]

Ta thấy \[ {g}'[x]=0 \] có một nghiệm nên \[ g[x]=0 \] có tối đa hai nghiệm

+ Trường hợp 1: Nếu g[x] = 0 có nghiệm x = 0 \[ \Rightarrow m=3 \] hoặc \[ m=-3 \]

Với m = 3 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g[x]. Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y và y đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán.

Với \[ m=-3 \] thì \[ g[x]=8{{x}^{4}}-30x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\sqrt[3]{\frac{15}{4}} \\ \end{align} \right. \]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m=-3 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2: \[ g[0]\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3 \]. Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

\[ \Leftrightarrow g[0]>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9