Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và có mặt đủ 3 chữ số 1, 2, 3

Bài 3: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.

Câu trả lời được xác thực chứa thông tin chính xác và đáng tin cậy, được xác nhận hoặc trả lời bởi các chuyên gia, giáo viên hàng đầu của chúng tôi.

Đáp án:

684 số tự nhiên 

Giải thích các bước giải:

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là $\overline {abcde} $

Buộc 3 chữ số 1, 2, 3 thành 1 cụm, đặt là A

Hoán vị các chữ số 1, 2, 3 cho nhau ta được 3! = 6 khả năng xảy ra của A

Có 3 cách chọn vị trí cho A trong $\overline {abcde} $

Sau khi chọn xong vị trí cho A, 2 chữ số còn lại có $A_7^2 = 42$ cách chọn

Như vậy, sẽ có 3.6.42 = 756 số được tạo thành tính cả trường hợp a = 0.

Xét a = 0: 

Khi đó, ta có 2 vị trí cho A, và mỗi vị trí có 6 khả năng xảy ra của A (Hoán vị 1, 2, 3)

Chữ số còn lại có 6 cách chọn

Vậy nếu a = 0 thì sẽ có 72 số được tạo thành.

Vậy, số số tự nhiên có 5 chữ số (a khác 0) thỏa mãn yêu cầu bài toán: 756 - 72 = 684 số tự nhiên.

Để tìm số lượng số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1, 2, 3, ta có thể giải quyết bài toán này bằng cách sử dụng nguyên tắc hoán vị và tổ hợp.

Trước tiên, ta xác định số các vị trí có thể đặt các chữ số 1, 2, 3. Vì ta muốn có đủ ba chữ số 1, 2, 3 trong số gồm 5 chữ số, nên ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: hai chữ số 1, hai chữ số 2 và một chữ số 3. Ta có thể chọn 2 vị trí để đặt chữ số 1 trong 5 vị trí, và sau đó chọn 2 trong số 3 vị trí còn lại để đặt chữ số 2. Chữ số 3 sẽ được đặt ở vị trí còn lại. Vậy số lượng các số thỏa mãn trường hợp này là:

  $\frac{5}{2}$ x $\frac{3}{2}$ =30

• Trường hợp 2: hai chữ số 1, ba chữ số 2. Ta có thể chọn 2 vị trí để đặt chữ số 1 trong 5 vị trí, và sau đó chọn 3 trong số 3 vị trí còn lại để đặt chữ số 2. Vậy số lượng các số thỏa mãn trường hợp này là:

  $\frac{5}{2}$ x $\frac{3}{3}$ =10

Tổng số lượng các số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1, 2, 3 là tổng số lượng các số thỏa mãn trường hợp 1 và trường hợp 2, nên ta có:

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline {abcde} \;\left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e;\;a \ne 0} \right)\)

+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có \(A_5^3\) (cách)

Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có \(A_7^2\) (cách)

Suy ra có \(A_5^3\,.\,A_7^2\) số

+) Trường hợp a = 0

Chọn a có 1 cách

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có \(A_4^3\) (cách)

Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có \(C_6^1\) (cách)

Suy ra có \(A_4^3\,.\,C_7^1\) (cách)

Vậy có: \(A_5^3\,.\,A_7^2 - A_4^3\,.\,C_7^1 = 2376\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.