+] Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] đồng biến trên \[\left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow f'\left[ x \right] \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\] và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
+] Cô lập \[m\].
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]. Ta có \[y' = 3{x^2} - 4x - 2m + 5\].
Để hàm số đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right] \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\] và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x - 2m + 5 \ge 0\,\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\\ \Leftrightarrow g\left[ x \right] = 3{x^2} - 4x + 5 \ge 2m\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right]\\ \Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right]} g\left[ x \right]\end{array}\]
Xét hàm số \[g\left[ x \right] = 3{x^2} - 4x + 5\] ta có \[g'\left[ x \right] = 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\].
Ta có: \[g\left[ 0 \right] = 5;\,\,g\left[ {\dfrac{2}{3}} \right] = \dfrac{{11}}{3};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left[ x \right] = + \infty \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right]} g\left[ x \right] = \dfrac{{11}}{3}\].
\[ \Rightarrow 2m \le \dfrac{{11}}{3} \Leftrightarrow m \le \dfrac{{11}}{6}\], mặt khác \[m \in \left[ { - 2018;2019} \right],\,\,m \in \mathbb{Z}\].
\[ \Rightarrow m \in \left[ { - 2018;1} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow \] Có 2020 giá trị của \[m\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\[\left[ {0{\rm{; + }}\infty } \right] \Leftrightarrow y' \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in {\rm{ }}\left[ {{\rm{0; + }}\infty } \right]\]\[ \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x - 2m + 5 \ge 0{\rm{ ,}}\forall x \in \left[ {{\rm{0; + }}\infty } \right] \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x \ge 2m - 5{\rm{ ,}}\forall x \in \left[ {{\rm{0; + }}\infty } \right]\]
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = 3{x^2} - 4x\] trên \[\left[ {0{\rm{; + }}\infty } \right]\], ta có \[f'\left[ x \right] = 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\]
Vẽ bảng biến thiến
Từ bảng trên suy ra \[3{x^2} - 4x \ge 2m - 5{\rm{ ,}}\forall x \in {\rm{ }}\left[ {{\rm{0; + }}\infty } \right]\] \[ \Leftrightarrow 2m - 5 \le - \frac{4}{3} \Leftrightarrow m \le \frac{{11}}{6}\].
Do m nguyên và \[m \in \left[ { - 2018{\rm{ ; 2019}}} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2018; - 2017; - 2016,....,0,1} \right\}\]