Chữ số có nghĩa là gì năm 2024
|
Lý do đưa ra nguyên tắc tính với phép cộng và trừ có thể hiểu được từ ví dụ sau. Nếu như một cốc thủy tinh không nặng 64 g và bạn đặt vào một mẫu NaCl nặng 0,176 g vào trong cốc, thì lúc này tổng khối lượng của cốc và lượng muối sẽ bằng bao nhiêu? Nếu không suy nghĩ, có lẽ bạn đã theo bản năng với việc đơn giản là lấy tổng hai số, 64 + 0,176; và ghi lại kết quả khối lượng là 64,176 g. Nếu bạn làm thế này, bạn đã sai. Hãy nhớ rằng ta chỉ được phép viết con số trong khuôn khổ những chữ số có ý nghĩa. Việc nói rằng tổng trọng lượng của cốc và NaCl bằng 64,176 g có nghĩa là bạn đã chắc chắn với các chữ số 6, 4, 1, và 7; đồng thời chỉ nghi ngờ chữ số 6 sau cùng. Thực tế là bạn đã nói rằng tổng khối lượng được biết chính xác đến ±0,001 g; nghĩa là đến trong giới hạn cộng trừ 1 phần 64176—khoảng 1 phần 64000 hay ±0,0015%. Rõ ràng điều này là vô nghĩa. Khối lượng của cốc trống không đã cho là 64 g, ngụ ý rằng khối lượng này được biết chính xác đến 64 ± 1 g. Bạn không chỉ nghi hoặc chữ số 4—chữ số này có thể là 3 hoặc 5 chẳng hạn—mà còn không nắm được thông tin gì về những chữ số đứng sau 4 nữa. Bởi vậy, bất kì chữ số nào trong phần thập phân đều không biết rõ, và bạn không được ghi chúng lại. Nếu thực hiện điều này sẽ là cho thấy rằng bạn nắm những thông tin mà thực ra mình không có. Đáp số đúng có thể dễ dàng tìm ra bằng cách chỉ định những chữ số không rõ bằng dấu chấm hỏi: Show Rõ ràng là dù ta đã biết các chữ số 1, 7, và 6 ở hàng thứ hai, nhưng khi chúng được cộng với các chữ số chưa xác định tương ứng ở hàng thứ nhất, các giá trị thu được của những chữ số phần thập phân cũng là chưa xác định. Bởi vậy, bạn phải viết khối lượng đúng của cốc thủy tinh kèm lượng muối là 64 g. Kết quả mà ta rút ra từ ví dụ này có thể được phát biểu cho phép cộng và trừ: Hãy làm tròn tất cả các số hạng trong phép cộng hoặc trừ sao cho mỗi số đều có cùng số các chữ số phần thập phân như số hạng vốn có ít chữ số phần thập phân nhất. Sau đó hãy cộng hoặc trừ kết quả những số sau khi làm tròn này. Chẳng hạn, hãy xét phép cộng những con số sau: 119,2 204,12 1,75 260,3734 Số 119,2 có ít chữ số trong phần thập phân nhất: chỉ có một. Vì vậy, cần phải làm tròn tất cả những số trong nhóm sao cho mỗi số chỉ có một chữ số phần thập phân, rồi cộng lại: 119,2 204,1 1,8260,4585,5 Trước khi đi tiếp, ta cần thảo luận hai điểm nữa.
Bài tập(1) 4,72 + 203,6 + 121,780 + 55 (2) 3,1416 + 2,73 + 5,921 + 3,83 (3) 297,64 – 31,279 (4) 32,745 + 121,5 – 326,73 (5) 49378,2 + 25,98 – 33 Đáp số. (1) 385 ; (2) 15,62 ; (3) 266,36 ; (4) –172,4 ; (5) 49371. Các số không (0) còn làm phức tạp hơn đối với những chữ số có nghĩa vì số không có hai chức năng trong một con số. Một chữ số không có thể biểu thị rằng một chữ số thập phân được đo bằng 0; về phương diện này nó là chữ số có nghĩa. Song chữ số 0 còn có thể được dùng để chỉ vị trí của dấu phẩy; về phương diện này nó không phải là chữ số có nghĩa. Lấy thí dụ với những số sau: (a) 0,0123 ; (b) 2027,3 ; (c) 0,1072 ; (d) 0,200. Số thứ nhất có ba chữ số có nghĩa là 1, 2, và 3. Số không nằm giữa dấu phảy và số 1 chỉ là để định vị phần thập phân; có nghĩa là nó chỉ định rằng con số 123 chỉ là phần trăm của đơn vị, chứ không phải là 123, 123 phần nghìn, v.v. Như vậy, số không này không được tính là chữ số có nghĩa. Số thứ hai có năm chữ số có nghĩa. Số không ở đây không để định vị phần thập phân nữa; mà chính là một chữ số cần thiết trong con số này. Điều đó cũng đúng với chữ số 0 trong số (c), vốn có bốn chữ số có nghĩa. Trường hợp số cuối cùng thì rất thú vị. Việc con số hai phần mười có thể được biểu diễn bằng cả 0,2 lẫn 0,200 đã cho thấy rằng hai chữ số 0 đứng sau con số 2 phải là có nghĩa; bởi nếu không thì chúng đã không viết ra trong cả con số này. Vì vậy, có ba chữ số có nghĩa trong (d), và ta có thể coi rằng phép đo được thực hiện bằng một thiết bị với độ chính xác đến ± 0,001. Một phương pháp thường được dùng để tránh sự nhầm lẫn trong việc biểu diễn bởi những chữ số 0 là cách viết số dưới dạng lũy thừa của 10. Theo dạng này, số mũ sẽ định vị dấu phẩy, và chỉ có những chữ số có nghĩa mới được viết ở trước cơ số. (Nếu bạn không thể nhớ được ý nghĩa của các số mũ, thì hãy xem mục tiếp theo.) Các số trong ví dụ trước được viết dưới dạng số mũ của 10 (thường gọi là kí hiệu khoa học) theo cách sau đây: (a) 0,0123 = 1,23 × 10−2 (b) 2027,3 = 2,0273 × 10³ (c) 0,1072 = 1,072 × 10−1 (d) 0,200 = 2,00 × 10−1 Để kiểm tra khả năng hiểu của mình, hãy đếm số chữ số có nghĩa trong các con số sau rồi biểu diễn chúng dưới dạng số mũ của 10. Bài tập(1) 2305,0 (2) 0,00007062 (3) 21,070 (4) 0,02003 (5) 900,0 (6) 1000 quả táo khi bạn đã biết chính xác số táo. (7) 0,7020 ± 0,001 Đáp số. (1) năm chữ số có nghĩa, 2,3050 × 10³; (2) bốn chữ số có nghĩa, 7,062 × 10−5; (3) năm chữ số có nghĩa, 2,1070 × 10; (4) bốn chữ số có nghĩa, 2,003 × 10−2; (5) bốn chữ số có nghĩa, 9,000 × 102; (6) bốn chữ số có nghĩa, 1,000 × 103; (7) ba chữ số có nghĩa, 7,02 × 10−1. Phần ±0,001 cho thấy độ không xác định nằm ở chữ số thứ ba trong phần thập phân, và chữ số 2 là chưa xác định. Các phép nhân và chiaViệc ước lượng mức độ bất định của đáp số nhận được từ một dãy phép tính nhân và chia thì khó hơn so với các phép cộng và trừ. Để ước lượng chuẩn xác, ta cần phải xác định được độ bất định của từng thừa số rồi sau đó cộng chúng lại để tìm độ bất định của đáp số. Sau đó, đáp số được viết ra với những chữ số có nghĩa, sao cho độ bất định chỉ xuất hiện ở chữ số sau cùng. Quy trình này khi làm sẽ tốn nhiều thời gian, và người ta ưa dùng một quy trình nhanh hơn dù không chuẩn xác bằng. Một quy trình như vậy được phát biểu như sau: Hãy biểu diễn đáp số của phép nhân và/hoặc chia sao cho đáp số có cùng số chữ số có nghĩa như thừa số có ít chữ số có nghĩa nhất. Lưu ý rằng cần nhấn mạnh số các chữ số có nghĩa trong phép nhân và chia. Không phải là số chữ số trong phần thập phân của giá trị phép đo, như với các phép cộng và trừ nữa. Quy tắc trên được dựa theo nguyên lý logic, đó là độ tin cậy của một kết quả xác định từ sự kết hợp một dãy các số không thể cao hơn chính con số kém tin cậy nhất trong dãy đó. Vì vậy, do trong một con số chỉ chứa các chữ số có nghĩa, chữ số cuối cùng là đáng ngờ, nên độ bất định trong số đó có thể được xấp xỉ bằng số các chữ số có nghĩa; tức là số có càng nhiều chữ số có nghĩa thì nó càng được biết rõ nhất. Một con số gồm bốn chữ số có nghĩa thì được biết rõ đến mức tối thiểu là 1 phần nghìn, số có ba chữ số có nghĩa được biết rõ ít nhất là 1 phần trăm, và cứ như vậy. Dĩ nhiên là ta giả sử rằng độ bất định trong chữ số đang ngờ đó thì bằng cộng hoặc trừ một đơn vị. Giả sử này sẽ được coi là hợp lệ với số liệu trong các bài toán. Hãy xét các dãy phép tính nhân và chia sau đây. Ví dụ2,760 / 5,46 = ? Lời giải. Kết quả, tính đến bốn chữ số sau phần thập phân, là 0,5055. Để xác định được cần phải làm tròn số này đến chỗ nào, ta nhận thấy rằng có bốn chữ số có nghĩa trong thừa số [cụ thể là số bị chia] 2,760 (nếu như chữ số 0 không có nghĩa thì nó đã chẳng được viết ở đó) và có ba chữ số có nghĩa trong thừa số 5,46. Như vậy, kết quả phải được làm tròn về ba chữ số có nghĩa và viết đúng là 0,506. Ví dụLời giải. Số các chữ số có nghĩa trong các thừa số là: hai trong số 1,9; bốn trong số 3,725; ba trong 6,02 × 10²³; và hai trong 0,0071. Trong số các thừa số này, thừa số ít nhất là có hai chữ số có nghĩa, nên kết quả phải được làm tròn thành hai chữ số có nghĩa và được viết đúng là 4,2 × 10−21. Đôi khi có sự phức tạp như ở ví dụ sau. Ví dụLời giải. Đáp số viết với bốn chữ số phần thập phân là 1,0941. Quy tắc nêu trên phát biểu rằng ta cần làm tròn số này đến hai chữ số có nghĩa, tức là làm tròn thành 1,1; bởi 9,9 là thừa số được biết rõ với độ chuẩn xác kém nhất (9,9 ± 0,1, hay một phần 99, hay khoảng 1%). Nhưng có điều hoàn toàn không đúng trong cách giải trên. Đáp số (1,1) cho thấy độ chuẩn xác là 1 phần 11, hay chỉ khoảng 10%. Mức độ chuẩn xác này kém hơn thừa số ít chuẩn xác nhất. Về khía cạnh nào đó, ta đã tự lừa dối bản thân đôi chút khi biểu diễn kết quả như thế này bở con số bất định nhất mà ta có trong tay lại được biết rõ khoảng 10 lần chắc chắn hơn so với đáp số được biểu diễn là 1,1. Trên cơ sở này, ta hoàn toàn có lý nếu bổ sung thêm một chữ số có nghĩa nữa và viết kết quả thành 1,09. Quy trình này sẽ chỉ định rằng kết quả được biết rõ là 1,09 ± 0,01 (nghĩa là trong khoảng một phần 109 hay khoảng 1%, tức là một ước tính trung thực hơn mức độ biết rõ của ta, so với giá trị 1,1). Ta hãy tính thể tích của một khối cầu từ quan hệ V = πr³. Đại lượng đo đạc là r, và số chữ số có nghĩa trong giá trị của r sẽ quyết định đáp số đúng. Vậy còn π thì sao? Ta hãy nghĩ một chút về những con số này. Pi (π) có một giá trị được ấn định mà người ta có thể xác định bao nhiêu chữ số có nghĩa cũng được, 3,141592653589793. Trong phép tính, ta chỉ cần áp dụng nhiều hơn số chữ số có ý nghĩa được biết đến ở r là được. Các số 4 và 3 trong phân số 4/3 là các số chính xác. Mặc dù theo quy ước chúng không được viết rõ, song ta đều biết chúng đến vô hạn các chữ số có nghĩa (4,0000000…). Bạn sẽ dùng nhiều số chính xác trong các bài toán và cần phải nhận thấy rằng vì những số này là chính xác nên ta sẽ không xét đến số lượng các chữ số có nghĩa nữa. Ví dụGiả sử ta cần tính thể tích khối cầu có đường kính d bằng 4,00 cm. Để kiểm tra mức độ hiểu của bạn, hãy trình bày đáp số của các bài tập sau theo số chữ số có nghĩa hợp lý. Bài tập
Các số lũy thừa hay dạng “kí hiệu khoa học”Cách viết dạng lũy thừa không chỉ cho phép ta biểu diễn thông tin về các chữ số có nghĩa mà giảm thiểu được sự nhầm lẫn, cách này còn giúp tránh được viết nhiều số 0 cho các số quá nhỏ và lớn. Nhiều khi bạn sẽ thấy viết dạng kí hiệu lũy thừa sẽ tiện lợi hơn. Ta dùng các số lũy thừa để biểu diễn các đại lượng theo số mũ của 10. Một con số lũy thừa gồm có hai phần: một hệ số (được chọn từ 1 đến 10) và một lũy thừa của 10. Chẳng hạn, số Avogadro được viết là 6,02 × 10²³; trong đó 6,02 là hệ số còn 23 là lũy thừa của 10. Một số mũ n dương cho thấy rằng hệ số phải được nhân lên với 10n lần; nghĩa là dấu phẩy cần được dịch chuyển n vị trí sang bên phải vị trí hiện thời trong hệ số. Một số mũ âm, –m, âm cho thấy rằng hệ số cần được chia cho 10m lần, nghĩa là dấu phẩy cần được dịch chuyển m vị trí sang trái. Chẳng hạn: 0,0000000192 = 1,92 × 10−8 1 nghìn = × 103 96500 = 9,65 × 104 Để cộng hoặc trừ các số lũy thừa, ta cần phải đảm bảo chắc rằng các lũy thừa của 10 đó phải như nhau. Nếu không thì phép toán sẽ giống như cộng hai đại lượng khác nhau: 2x + 2y = ?, trong khi 2x + 2x = 4x. Nói cách khác, 2 trăm cộng 2 nghìn không bằng 4 trăm hay 4 nghìn. Nhưng 2 trăm cộng 20 trăm (hay 2 nghìn) thì bằng 22 trăm. Như vậy, trước khi cộng hoặc trừ các đại lượng, các đơn vị (trong trường hơp này là vị trí tương đối của dấu phẩy) phải như nhau. Yêu cầu này có thể sẽ buộc bạn phải viết lại số lũy thừa. Khâu rất dễ dàng nếu bạn nhờ rằng mỗi lần lũy thừa 10 dương thêm một đơn vị thì tương đương với nhân số lên 10 ần, hay dịch chuyển dấu phẩy trong hệ số một vị trí sang phải. Tương tự, nếu lũy thừa của 10 được làm cho âm hơn, thì cũng tương đương với việc chuyển dấu phẩy trong hệ số sang trái. Chẳng hạn, 6,022 × 10²³ + 7,65 × 10²¹ = ? Hãy viết lại cả hai số này để chúng có cùng lũy thừa 10; chẳng hạn, cùng là 21. Để viết 6,022 × 10²³ thành các lũy thừa của 10²¹ (số mũ được giảm đi hai bậc lũy thừa của 10) thì cần tăng hệ số lên lũy thừa hai của 10. Do vậy, dấu phẩy của nó cần được dịch chuyển hai vị trí sang phải: 6,022 × 10²³ = 602,2 × 10²¹ Bây giờ hai số này có thể cộng lại được: 602,2 × 1021+ 7,65 × 1021609,8 × 1021 hay 6,098 × 1023 Hãy làm các bài tập sau để kiểm tra mức độ hiểu của bạn. Bài tập
Trong phép nhân, bạn chỉ cần nhân các hệ số với nhau rồi nhân các lũy thừ với nhau (tức là cộng số mũ lại) để thu được hệ số và lũy thừa của kết quả. Chẳng hạn, 6,02 × 1023 × 1,76 × 10−2 = ? Tích cả các hệ số lấy đến các chữ số có nghĩa phù hợp là 6,02 × 1,76 = 10,6. Tích số của các lũy thừa 10 là 10²³ × 10−2 = 10−[23+(–2)] = 10²¹. Đáp số cho phép nhân trên là 10,6 × 1021, hay viết dưới dạng ưa chuộng là hệ số phải nằm giữa 1 và 10, thì bằng 1,06 × 1022. Trong phép chia, các hệ số được chia riêng, và số mũi chia riêng. Hãy nhớ rằng trong phép chia các số mũ, thì ta lấy số mũ của số bị chia (tử số) chia cho số mũ số chia (mẫu số). Chẳng hạn, Chia 6,022 cho 5,976 được 1,008 với đúng số lượng các chữ số có nghĩa. Việc chia các lũy thừa cho ta 1023/1027 = 10(23–27) = 10−4. Do vậy kết quả là 1,008 × 10−4. Quy tắc chung này cũng được áp dụng khi nâng một lũy thừa lên một số mũ. Đầu tiên là hệ số được nâng lên trước, rồi đến phần lũy thừa, sau đó kết quả hai phép tính này được kết hợp lại để ra đáp số. Như vậy, (6 × 103)³ = 216 × 109 = 2 × 1011. (nếu chỉ có một chữ số có nghĩa) (5,1 × 10−2)² = 26 × 10−4 = 2,6 × 10−3. Để tránh các lũy thừa lẻ (có phần thập phân) khi lấy căn, ta phải điều chỉ lũy thừa của 10 để nó trở thành số chẵn nếu cần phải tính căn bậc hai, và thành một bội số của 3 nếu như phải lấy căn bậc 3, và cứ như vậy. Do đó, để lấy căn bậc ba của số Avogadro, (6,02 × 1023)1/3., trước hết bạn phải viết lại số lũy thừa của 10 thành bội số của 3. Vì 3 × 7 = 21 và 3 × 8 = 24; cả 1021 và 1024 đều là các số lũy thừa thích hợp. Ta hãy viết lại số Avogadro thành một hệ số nhân với 1021 bằng cách di chuyển dấu phẩy ở hệ số sang phải hai vị trí và giảm bậc lũy thừa 10 đi hai đơn vị: (602 × 1021)1/3. Căn bậc ba của 602 là 8,45; căn bậc ba của 1021 là 107. Đáp số là 8,45 × 107. Để tự kiểm tra mức độ hiểu của mình, bạn hãy làm những bài tập sau. Bài tập
Các tác giả cảm ơn Giáo sư Wilbert Hutton đã cho phép in lại nội dung Phụ lục 4 từ A Study Guide to Chemical Principles, ấn bản 2. Định nghĩa chữ số có nghĩa là gì?Trong toán học và khoa học máy tính, một chữ số là một ký hiệu (một ký hiệu bằng số, ví dụ "3" hoặc "7") được dùng trong các con số (kết hợp với các ký hiệu, ví dụ "37") để tượng trưng cho một số (số nguyên hoặc số thực) trong dãy số của hệ thống số. Thế nào là hai chữ số có nghĩa?Những số không, xuất hiện trước tất cả những số không phải là số không, là không có nghĩa. Ví dụ: Các số đo: 0,0071 m; 0,42 m; 0,000099 m. Những số này chỉ có 2 số có nghĩa. Những số không, ở cuối mỗi số và ở bên phải dấu phẩy thập phân là số có nghĩa. Làm tròn số là gì?Yêu cầu làm tròn số là làm tròn đến hàng nào (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm...) hoặc phần nào (phần mười, phần trăm...). Nguyên tắc là ta xóa tất cả những chữ số ở bên phải của chữ số ở hàng (hay phần) cần làm tròn đi rồi thay những chữ số trước dấu phẩy (hàng đơn vị, hàng chục...) bằng những chữ số 0 tương ứng. 1 02 có bao nhiêu chữ số có nghĩa?+ 201 có 3 chữ số có nghĩa là 2, 0, 1. + 0,02 có 1 chữ số có nghĩa là 2. |
